Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен $\alpha$.

Для решения задач по геометрии из предложенного учебника: ### Задача 705 **Условие:** Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен $\alpha$. **Решение:** 1. Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Они делят большее основание на три отрезка: $x$, $2$ (равно меньшему основанию) и $x$. Так как трапеция равнобедренная, $x = (6 - 2) / 2 = 2$ см. 2. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и отрезком $x$, высота $h$ связана с углом $\alpha$: $\tan \alpha = h / x \Rightarrow h = 2 \tan \alpha$. 3. Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{2+6}{2} \cdot 2 \tan \alpha = 8 \tan \alpha$. **Ответ: $8 \tan \alpha \text{ см}^2$.** ### Задача 706 **Условие:** Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней части, если угол наклона откосов равен $60^{\circ}$, а высота насыпи равна 12 м? **Решение:** 1. Нижнее основание складывается из верхней ширины ($60$ м) и двух "выступов" по бокам, назовем их $x$. 2. Высота $h = 12$ м, угол наклона $60^{\circ}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где один катет $h = 12$, а другой $x$ (проекция откоса). 3. $\tan 60^{\circ} = h / x \Rightarrow x = h / \tan 60^{\circ} = 12 / \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \approx 6.93$ м. 4. Ширина внизу = $60 + 2x = 60 + 8\sqrt{3} \approx 60 + 13.86 = 73.86$ м. **Ответ: $60 + 8\sqrt{3}$ м (примерно 73.86 м).** ### Задача 707 **Условие:** Найдите углы ромба с диагоналями $2\sqrt{3}$ и $2$. **Решение:** 1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют 4 прямоугольных треугольника с катетами $\sqrt{3}$ и $1$. 2. Пусть $\alpha$ — половина угла ромба, лежащего против катета $\sqrt{3}$. $\tan \alpha = \sqrt{3} / 1 = \sqrt{3} \Rightarrow \alpha = 60^{\circ}$. 3. Весь угол равен $2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$. Второй угол: $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. **Ответ: $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$.** ### Задача 708 **Условие:** Стороны прямоугольника равны 3 см и $\sqrt{3}$ см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника. **Решение:** 1. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника со сторонами $3$ и $\sqrt{3}$. 2. Пусть $\alpha$ — угол между диагональю и стороной $3$. $\tan \alpha = \sqrt{3} / 3 = 1 / \sqrt{3}$. Это соответствует $30^{\circ}$. 3. Второй угол: $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. **Ответ: $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$.** ### Задача 709 **Условие:** В параллелограмме $ABCD$ сторона $AD$ равна 12 см, а угол $BAD$ равен $47^{\circ}50'$. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ $BD$ перпендикулярна к стороне $AB$. **Решение:** 1. В прямоугольном треугольнике $ABD$ (угол $ABD = 90^{\circ}$), гипотенуза $AD = 12$, угол $BAD = 47^{\circ}50'$. 2. Катет $AB = AD \cdot \cos(47^{\circ}50')$. 3. Катет $BD = AD \cdot \sin(47^{\circ}50')$. 4. Площадь параллелограмма $S = AB \cdot BD = (12 \cos 47^{\circ}50') \cdot (12 \sin 47^{\circ}50') = 144 \cdot \sin(47^{\circ}50') \cdot \cos(47^{\circ}50')$. 5. Используем формулу двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$: $S = 72 \cdot \sin(95^{\circ}40')$. 6. $\sin(95^{\circ}40') \approx 0.995$. $S \approx 72 \cdot 0.995 \approx 71.64$. **Ответ: $72 \sin(95^{\circ}40') \text{ см}^2 \approx 71.64 \text{ см}^2$.**