Бабушка решила разделить конфеты между внуками поровну. Она обнаружила, что если бы конфет было на 15 штук больше, то их можно было бы разделить поровну. А если бы конфет было на 9 штук больше, то после деления поровну осталась бы одна лишняя конфета. Сколько у бабушки внуков?

Пусть $K$ — исходное количество конфет, а $n$ — количество внуков. 1. Из условия «если бы конфет было на 15 штук больше, то их можно было бы разделить поровну» следует, что $K + 15$ делится на $n$ без остатка. 2. Из условия «а если бы конфет было на 9 штук больше, то после деления поровну осталась бы одна лишняя конфета» следует, что при делении $K + 9$ на $n$ получается остаток 1, то есть $K + 9 = n imes m + 1$, где $m$ — целое число. Выразим связь между остатками: - $K + 15 \equiv 0 \pmod n$, значит $K \equiv -15 \pmod n$. - $K + 9 \equiv 1 \pmod n$, значит $K \equiv -8 \pmod n$. Приравняем остатки: $-15 \equiv -8 \pmod n$ $n$ должно быть делителем разности: $15 - 8 = 7$. Единственное натуральное число (больше 1, так как внуков обычно несколько, хотя 1 тоже возможно, но задача предполагает дележ), делящее 7 — это 7. Проверим: Если внуков 7: - $K + 15$ кратно 7. - $K + 9$ при делении на 7 дает 1. Это выполняется для любого $K$, такого что $K = 7x - 15$ (или $K = 7y - 8$). Пример: если $K=6$: - $6+15 = 21$ (делится на 7). - $6+9 = 15$ ($15 \div 7 = 2$ и 1 в остатке). Условия соблюдаются. **Ответ: 7 внуков.**