1.Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а. Высота пирамиды равна а√3. Найдите: а) сторону основания пирамиды; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь поверхности пирамиды; г) расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани

1. **Дано:** Апофема $l=2a$, высота $h=a\sqrt{3}$.а) Пусть сторона основания $b$. В треугольнике, образованном высотой, апофемой и отрезком от центра до стороны ($b/2$): $l^2 = h^2 + (b/2)^2$. $(2a)^2 = (a\sqrt{3})^2 + (b/2)^2 \implies 4a^2 = 3a^2 + (b/2)^2 \implies b/2 = a \implies b = 2a$.б) Угол $\alpha$ между гранью и основанием: $\cos \alpha = \frac{b/2}{l} = \frac{a}{2a} = 0.5$. $\alpha = 60^\circ$.в) $S_{total} = S_{base} + S_{lateral} = b^2 + 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot b \cdot l) = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (2a) = 4a^2 + 8a^2 = 12a^2$.г) Расстояние $d$ от центра до грани — это высота прямоугольного треугольника с катетами $h=a\sqrt{3}$ и $b/2=a$, опущенная на гипотенузу $l=2a$. $d = \frac{h \cdot (b/2)}{l} = \frac{a\sqrt{3} \cdot a}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.2. **Дано:** Ромб, диагонали $10$ и $18$ см. Половины диагоналей: $5$ и $9$ см. Высота $h$ падает в точку пересечения.$13^2 = h^2 + 5^2 \implies 169 = h^2 + 25 \implies h = 12$ см.Большее боковое ребро $x = \sqrt{h^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см.**Ответ:** 15 см.3. **Дано:** $DA \perp ABC$. $\triangle ABC$ — прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$, т.к. $21^2 + 20^2 = 29^2$). $AC=21, AB=29 \implies BC=20$. $DA=20$.Площадь боковой поверхности: $S = S_{DAC} + S_{DAB} + S_{DBC}$.$S_{DAC} = 0.5 \cdot DA \cdot AC = 0.5 \cdot 20 \cdot 21 = 210$.$S_{DAB} = 0.5 \cdot DA \cdot AB = 0.5 \cdot 20 \cdot 29 = 290$.$S_{DBC} = 0.5 \cdot DC \cdot BC$. $DC = \sqrt{DA^2 + AC^2} = \sqrt{400 + 441} = 29$. $S_{DBC} = 0.5 \cdot 29 \cdot 20 = 290$.$S = 210 + 290 + 290 = 790$.**Ответ:** 790.