Радиус OM окружности с центром O делит хорду AB пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку M, параллельна хорде AB.

Радиус $OM$ окружности с центром $O$ делит хорду $AB$ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку $M$, параллельна хорде $AB$. **Доказательство:** 1. Пусть $K$ — точка пересечения радиуса $OM$ и хорды $AB$. По условию $AK = KB$. 2. В равнобедренном треугольнике $AOB$ (где $OA = OB$ как радиусы) отрезок $OK$ является медианой, проведённой к основанию $AB$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, также является его высотой. Следовательно, $OM \perp AB$. 3. По свойству касательной к окружности, касательная, проведённая через точку $M$, перпендикулярна радиусу $OM$, проведённому в точку касания. Пусть эта касательная — прямая $m$. Тогда $m \perp OM$. 4. Прямые $AB$ и $m$ перпендикулярны одной и той же прямой $OM$. По признаку параллельности прямых (если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны), $AB \parallel m$. Что и требовалось доказать.