Решите неравенство 16^(1/x - 1) - 4^(1/x - 1) - 2 >= 0

Question

Вопрос:

Решите неравенство 16^(1/x - 1) - 4^(1/x - 1) - 2 >= 0

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Решим показательное неравенство: $16^{\frac{1}{x}-1} - 4^{\frac{1}{x}-1} - 2 \ge 0$ 1. Заметим, что $16 = 4^2$, тогда уравнение примет вид: $(4^2)^{\frac{1}{x}-1} - 4^{\frac{1}{x}-1} - 2 \ge 0$ $(4^{\frac{1}{x}-1})^2 - 4^{\frac{1}{x}-1} - 2 \ge 0$ 2. Введем замену переменной: $t = 4^{\frac{1}{x}-1}$, где $t > 0$. $t^2 - t - 2 \ge 0$ 3. Решим квадратное уравнение $t^2 - t - 2 = 0$ через дискриминант или по теореме Виета: $t_1 = 2, t_2 = -1$ Неравенство $(t-2)(t+1) \ge 0$ при условии $t > 0$ дает решение: $t \ge 2$ 4. Вернемся к замене: $4^{\frac{1}{x}-1} \ge 2$ $(2^2)^{\frac{1}{x}-1} \ge 2^1$ $2^{2(\frac{1}{x}-1)} \ge 2^1$ 5. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется для показателей: $2(\frac{1}{x}-1) \ge 1$ $\frac{2}{x} - 2 \ge 1$ $\frac{2}{x} \ge 3$ $\frac{2}{x} - 3 \ge 0$ $\frac{2 - 3x}{x} \ge 0$ 6. Решим методом интервалов: Числитель: $2 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$ Знаменатель: $x \neq 0$ Расставим знаки на числовой прямой для выражения $\frac{2-3x}{x}$: - При $x < 0$: $\frac{+}{-} = -$ - При $0 < x \le \frac{2}{3}$: $\frac{+}{+} = +$ - При $x > \frac{2}{3}$: $\frac{-}{+} = -$ Нам подходит интервал, где выражение больше или равно нулю. **Ответ:** $x \in (0; \frac{2}{3}]$

Решите неравенство 16^(1/x - 1) - 4^(1/x - 1) - 2 &gt;= 0

Ответ ассистента

Другие решения

Решите неравенство 16^(1/x - 1) - 4^(1/x - 1) - 2 >= 0