Вариант 3. 1. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.

1. **Дано:** правильная четырёхугольная пирамида, боковое ребро $L = 4$ см, угол наклона ребра к плоскости основания $\alpha = 45^\circ$. а) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, боковым ребром $L$ и половиной диагонали основания $d/2$. $H = L \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. б) Найдём сторону основания $a$. Половина диагонали $d/2 = L \cdot \cos(45^\circ) = 2\sqrt{2}$ см, тогда диагональ $d = 4\sqrt{2}$ см. Так как основание — квадрат, то $a = d / \sqrt{2} = 4\sqrt{2} / \sqrt{2} = 4$ см. Найдём апофему $h$: $h = \sqrt{L^2 - (a/2)^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 4) \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см². 2. **Дано:** правильная четырёхугольная призма, $S_{грани} = 48$ см², $P_{осн} = 12$ см. Основание призмы — квадрат, значит сторона основания $a = P_{осн} / 4 = 12 / 4 = 3$ см. Высота призмы $H$ находится из площади грани: $S_{грани} = a \cdot H \Rightarrow 48 = 3 \cdot H \Rightarrow H = 16$ см. Боковое ребро правильной призмы равно её высоте. Ответ: 16 см. 3. **Дано:** правильная треугольная пирамида, плоский угол при вершине $\gamma = 60^\circ$, боковое ребро $L = 6$ см. Так как пирамида правильная, боковые грани — равнобедренные треугольники. Угол при вершине $60^\circ$ делает их равносторонними треугольниками со стороной $a = L = 6$ см. $S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot \left( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \right) = 3 \cdot \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 3 \cdot 9\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см². 4. **Дано:** прямая призма, в основании равнобедренный треугольник ($a = 8$ см, боковые стороны $b = 5$ см), высота $H = 10$ см. $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$. Периметр основания $P_{осн} = 8 + 5 + 5 = 18$ см. $S_{бок} = 18 \cdot 10 = 180$ см². Ответ: 180 см².