229 В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) n=3, a=10 см, h=15 см; б) n=4, a=12 дм, h=8 дм; в) n=6, a=23 см, h=5 дм; г) n=5, a=0,4 м, h=10 см.

Для решения задачи №229 воспользуемся формулами для правильной $n$-угольной призмы: 1. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = n \cdot a \cdot h$. 2. Площадь основания (правильный $n$-угольник): $S_{осн} = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan(\frac{180^\circ}{n})}$. 3. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$. **а) $n = 3, a = 10\text{ см}, h = 15\text{ см}$** $S_{бок} = 3 \cdot 10 \cdot 15 = 450\text{ см}^2$ $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}\text{ см}^2$ $S_{полн} = 450 + 2 \cdot 25\sqrt{3} = 450 + 50\sqrt{3}\text{ см}^2$ **б) $n = 4, a = 12\text{ дм}, h = 8\text{ дм}$** $S_{бок} = 4 \cdot 12 \cdot 8 = 384\text{ дм}^2$ $S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144\text{ дм}^2$ $S_{полн} = 384 + 2 \cdot 144 = 384 + 288 = 672\text{ дм}^2$ **в) $n = 6, a = 23\text{ см}, h = 5\text{ дм} = 50\text{ см}$** $S_{бок} = 6 \cdot 23 \cdot 50 = 6900\text{ см}^2$ $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3} \cdot a^2}{2} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 529}{2} = 793,5\sqrt{3}\text{ см}^2$ $S_{полн} = 6900 + 2 \cdot 793,5\sqrt{3} = 6900 + 1587\sqrt{3}\text{ см}^2$ **г) $n = 5, a = 0,4\text{ м} = 40\text{ см}, h = 10\text{ см}$** $S_{бок} = 5 \cdot 40 \cdot 10 = 2000\text{ см}^2$ $S_{осн} = \frac{5 \cdot 40^2}{4 \cdot \tan(36^\circ)} = \frac{2000}{\tan(36^\circ)} \approx \frac{2000}{0,7265} \approx 2752,8\text{ см}^2$ $S_{полн} = 2000 + 2 \cdot 2752,8 = 7505,6\text{ см}^2$ **Ответ:** а) $S_{бок}=450, S_{полн}=450+50\sqrt{3}$ б) $S_{бок}=384, S_{полн}=672$ в) $S_{бок}=6900, S_{полн}=6900+1587\sqrt{3}$ г) $S_{бок}=2000, S_{полн} \approx 7505,6$