221. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

### Решение задачи №221 1. Сечение проходит через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания. Так как призма правильная, сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Основание треугольника — сторона основания призмы $a = 8$ см. Боковые стороны треугольника — это диагонали боковых граней призмы. 2. Найдём боковую сторону сечения (диагональ боковой грани $d$) по теореме Пифагора: $d = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см. 3. Найдём высоту сечения ($h$), проведённую к основанию $8$ см, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника: $h = \sqrt{10^2 - (8/2)^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$ см. 4. Вычислим площадь сечения: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{21} = 8\sqrt{21}$ см². **Ответ: $8\sqrt{21}$ см²**. ### Решение задачи №222 1. Двугранные углы при боковых ребрах прямой призмы равны углам её основания (трапеции). 2. В равнобедренной трапеции с основаниями $a = 25$, $b = 9$ и высотой $h = 8$ найдём проекцию боковой стороны на большее основание: $x = \frac{25 - 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. 3. Так как проекция $x$ равна высоте $h$ ($8 = 8$), прямоугольный треугольник, образованный высотой и боковой стороной, является равнобедренным. Углы в нём составляют $45^{\circ}$ и $90^{\circ}$. 4. Острый угол трапеции: $\alpha = 45^{\circ}$. 5. Тупой угол трапеции: $\beta = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$. **Ответ: $45^{\circ}, 135^{\circ}, 45^{\circ}, 135^{\circ}$**. ### Решение задачи №223 1. Сечение куба, проходящее через два противолежащих ребра, является прямоугольником со сторонами $a$ (ребро куба) и $a\sqrt{2}$ (диагональ грани). 2. Площадь сечения $S = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$. 3. По условию $a^2\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$. Отсюда $a^2 = 64$, значит ребро куба $a = 8$ см. 4. Диагональ куба $D = a\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см. **Ответ: ребро 8 см, диагональ $8\sqrt{3}$ см.**