А. Решите уравнение cos 2x + sin^2 x = 0, 75.

А. Решим уравнение $\cos 2x + \sin^2 x = 0,75$. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Подставим это выражение в уравнение: $1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x = 0,75$ $1 - \sin^2 x = 0,75$ $-\sin^2 x = 0,75 - 1$ $-\sin^2 x = -0,25$ $\sin^2 x = 0,25$ Отсюда $\sin x = 0,5$ или $\sin x = -0,5$. Решения: 1) $\sin x = 0,5 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x = -0,5 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Объединяя, получаем: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Б. Найдем корни на отрезке $[5\pi; 6,5\pi]$. Проверим серии решений: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=2, x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \approx 4,16\pi$ (мало); при $k=3, x = \frac{\pi}{6} + 6\pi = \frac{37\pi}{6} \approx 6,16\pi$ (подходит). $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=2, x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \approx 4,83\pi$ (мало); при $k=3, x = \frac{5\pi}{6} + 6\pi = \frac{41\pi}{6} \approx 6,83\pi$ (много). $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=3, x = -\frac{\pi}{6} + 6\pi = \frac{35\pi}{6} \approx 5,83\pi$ (подходит). $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=3, x = -\frac{5\pi}{6} + 6\pi = \frac{31\pi}{6} \approx 5,16\pi$ (подходит). Ответ: А. $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ Б. $\frac{31\pi}{6}, \frac{35\pi}{6}, \frac{37\pi}{6}$