Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.

Для решения задачи №227 воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника (углы при основании равны) и теоремой о сумме углов треугольника ($180^\circ$). Пусть $\alpha$ — угол при основании, $\beta$ — угол при вершине. **227. Найдите углы равнобедренного треугольника, если:** а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; Пусть $\beta = x$, тогда $\alpha = 2x$. $2x + 2x + x = 180^\circ \Rightarrow 5x = 180^\circ \Rightarrow x = 36^\circ$. Углы: $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ$. б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним. Пусть внешний угол равен $180^\circ - \alpha$. По условию: $\alpha = \frac{180^\circ - \alpha}{3}$. $3\alpha = 180^\circ - \alpha \Rightarrow 4\alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 45^\circ$. Если $\alpha = 45^\circ$, то второй угол при основании тоже $45^\circ$, а угол при вершине $\beta = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$. Углы: $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$. **Ответ: а) 36°, 72°, 72°; б) 45°, 45°, 90°.** **228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен:** а) $40^\circ$: 1) Если это угол при вершине: $(180^\circ - 40^\circ) / 2 = 70^\circ$. Углы: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$. 2) Если это угол при основании: $180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 100^\circ$. Углы: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$. б) $60^\circ$: Все углы по $60^\circ$ (равносторонний треугольник). в) $100^\circ$: Этот угол может быть только при вершине (так как углы при основании острые). $(180^\circ - 100^\circ) / 2 = 40^\circ$. Углы: $100^\circ, 40^\circ, 40^\circ$. **229.** В $\triangle ABC$ с основанием $AC$, $\angle A = \angle C$. Т.к. $AD$ — биссектриса, $\angle DAC = \angle A / 2$. В $\triangle ADC$: $\angle ADC = 180^\circ - (\angle DAC + \angle C)$. Если $\angle C = 50^\circ$, то $\angle A = 50^\circ$, $\angle DAC = 25^\circ$. $\angle ADC = 180^\circ - (25^\circ + 50^\circ) = 105^\circ$. **Ответ: 105°.**