Пользуясь свойствами прямоугольного треугольника, решите задачи. Запишите ответ.

1. В треугольнике $ABC$ ($∠C = 90^∘$): $∠A = 90^∘ - 60^∘ = 30^∘$. Катет $BC$ лежит против угла в $30^∘$, значит, он равен половине гипотенузы $AB$: $BC = 10 : 2 = 5$. 2. В треугольнике $ABC$ ($∠C = 90^∘$): $∠B = 90^∘ - 45^∘ = 45^∘$. Так как углы при основании равны, треугольник равнобедренный, $BC = AC = 8$. По теореме Пифагора: $AB = √(8^2 + 8^2) = √128 = 8√2 ≈ 11,3$. (Если корень не проходили, ответ: $8√2$). 3. В треугольнике $ABC$: $AC = CB$, значит он равнобедренный, $∠A = ∠B$. Так как $∠C = 90^∘$, то $∠B = (180^∘ - 90^∘) : 2 = 45^∘$. Углы $∠CBE$ и $∠ABC$ смежные: $∠CBE = 180^∘ - 45^∘ = 135^∘$. 4. В треугольнике $ADC$ катет $CD = 3,5$ равен половине гипотенузы $AC = 7$, значит $∠A = 30^∘$. Тогда $∠D = 90^∘ - 30^∘ = 60^∘$. В треугольнике $ABC$ ($∠C = 90^∘$): $∠B = 90^∘ - 30^∘ = 60^∘$. 5. В треугольнике $KPC$ ($∠C = 90^∘$): $∠KPC = 180^∘ - 150^∘ = 30^∘$ (смежные). Тогда $KC$ лежит против угла $30^∘$ и равен половине $PK$, но $PK$ не дано. Если рассматривать $∠K = 90^∘$ в большом треугольнике $PKE$: $∠E = 180^∘ - 90^∘ - 30^∘ = 60^∘$. В $ riangle KCE$ ($∠C = 90^∘$): $∠CKE = 90^∘ - 60^∘ = 30^∘$. Тогда $CE = KE : 2 = 9 : 2 = 4,5$. По теореме Пифагора $KC = √(9^2 - 4,5^2) = √(81 - 20,25) = √60,75 = 4,5√3$. 6. В треугольнике $BCD$: $∠DBC = 180^∘ - 150^∘ = 30^∘$ (смежные). В треугольнике $ABC$ ($∠C = 90^∘$): катет $AC = 20$ лежит против угла $B = 30^∘$, значит гипотенуза $AB = 20 ∙ 2 = 40$. В треугольнике $ACD$ ($∠C = 90^∘$): если $∠A = 60^∘$ (из $ riangle ABC$), то $∠D = 30^∘$. Тогда $AC = AD : 2 → AD = 40$. По теореме Пифагора $CD = √(AD^2 - AC^2) = √(40^2 - 20^2) = √1200 = 20√3$. 7. В треугольнике $BMA$ ($∠M = 90^∘$): $∠MBA = 90^∘ - 70^∘ = 20^∘$. Угол $∠MCA$ в прямоугольном треугольнике $MCA$ нельзя найти без дополнительных данных о положении точки $M$ на $BC$ или угла $A$. 8. В треугольнике $BDC$: $∠DBC = 90^∘ - 25^∘ = 65^∘$. Так как $AB=BC$ (равнобедренный) и $BD$ - высота, то она и биссектриса. Значит $∠ABD = ∠DBC = 65^∘$. Тогда $∠ABC = 65^∘ + 65^∘ = 130^∘$. $∠A = ∠C = 25^∘$. **Ответы:** 1. 5 2. $8√2$ 3. $135^∘$ 4. $∠B=60^∘, ∠D=60^∘$ 5. $CE=4,5; KC=4,5√3$ 6. $20√3$ 7. Недостаточно данных 8. $∠A=25^∘, ∠ABC=130^∘$