№1.Из точки А проведены к плоскости α наклонные AE и AF, образующие с ней углы 30° и 60° соответственно. Найдите проекцию наклонной AF на плоскость α, если проекция наклонной AE на эту плоскость равна 6 см.

### Вариант 1 **№ 1.** 1. Пусть $h$ — перпендикуляр из точки $A$ к плоскости $\alpha$. Тогда $h = AE \cdot \sin 30^\circ$ и $h = AF \cdot \sin 60^\circ$. 2. Проекция $AE$ на плоскость равна $AE \cdot \cos 30^\circ = 6$ см. $AE = \frac{6}{\cos 30^\circ} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см. 3. Найдём высоту $h$: $h = AE \cdot \sin 30^\circ = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$ см. 4. Проекция $AF$ на плоскость: $AF_{пр} = h \cdot \operatorname{ctg} 60^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2$ см. **Ответ: 2 см.** **№ 2.** 1. Пусть $B$ лежит на одной грани, $B_{1}$ — её проекция на другую грань, $BB_{1} = 4\sqrt{3}$ см. 2. Расстояние до ребра $d$ — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, где катет — это расстояние до грани, а угол против него равен углу двугранного угла ($60^\circ$). 3. $d = \frac{BB_{1}}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8$ см. **Ответ: 8 см.** **№ 3.** 1. Пусть катет $a$, тогда гипотенуза $c = a\sqrt{2}$. 2. Пусть плоскость $\beta$ проходит через катет $AC$. Высота из вершины $B$ на плоскость $\beta$ равна $h = AB \cdot \sin 60^\circ = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. 3. Синус угла $\varphi$ между гипотенузой $BC$ и плоскостью $\beta$: $\sin \varphi = \frac{h}{BC} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$. **Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$.** **№ 4.** 1. Пусть отрезок $AB = 5\sqrt{5}$ см. Его проекции на линию пересечения плоскостей образуют прямоугольный треугольник в пространстве. 2. По теореме Пифагора для проекции $d$ отрезка на линию пересечения: $AB^2 = a^2 + b^2 + d^2$, где $a=5$ см и $b=8$ см — расстояния до линии. 3. $(5\sqrt{5})^2 = 5^2 + 8^2 + d^2 \Rightarrow 125 = 25 + 64 + d^2 \Rightarrow d^2 = 125 - 89 = 36 \Rightarrow d = 6$ см. **Ответ: 6 см.** **№ 5.** 1. Проведём медианы (они же высоты) $CM$ и $DM$ к общей стороне $AB = 24$. $M$ — середина $AB$. 2. В $\triangle ABC$: $CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$ см. 3. В $\triangle ABD$: $DM = \sqrt{AD^2 - AM^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$ см. 4. По теореме косинусов для $\triangle CDM$ (угол $M = 60^\circ$): $CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos 60^\circ$. $CD^2 = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 0,5 = 25 + 81 - 45 = 61$. $CD = \sqrt{61}$ см. **Ответ: $\sqrt{61}$ см.**