Контрольная работа № 4. Вариант 1. 1. Через середину M стороны AD квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр MK, равный 6√3 см. Сторона квадрата равна 12 см. Вычислите: а) расстояние от точки K до прямой BC; б) площади треугольника AKB и его проекции на плоскость квадрата; в) расстояние между прямыми AK и BC. 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. AC = 13 см, DC = 5 см, AA1 = 12√3 см. Вычислите градусную меру двугранного угла ADC1.

### Вариант 1 **Задание 1** Дано: $ABCD$ — квадрат, $M$ — середина $AD$, $MK \perp (ABC)$, $MK = 6\sqrt{3}$ см, $AB = 12$ см. а) Расстояние от $K$ до прямой $BC$. 1. $M$ — середина $AD$, $AB \perp AD$ (стороны квадрата), значит $MA \perp AB$. По теореме о трёх перпендикулярах $KA \perp AB$. Но нам нужно расстояние до $BC$. 2. Проведём $MP \perp BC$. Так как $ABCD$ — квадрат, $MP = AB = 12$ см. 3. Т.к. $MK \perp (ABC)$, то по теореме о трёх перпендикулярах $KP \perp BC$. $KP$ — искомое расстояние. 4. Из $\triangle MKP$ ($\angle M = 90^{\circ}$): $KP = \sqrt{MK^2 + MP^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 12^2} = \sqrt{108 + 144} = \sqrt{252} = 6\sqrt{7}$ см. б) Площадь $\triangle AKB$ и его проекции на $(ABC)$. 1. Проекция $\triangle AKB$ на плоскость $(ABC)$ — это $\triangle AMB$. 2. $S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 = 36$ см$^2$. 3. В $\triangle KAM$ ($\angle M = 90^{\circ}$): $AK = \sqrt{MK^2 + AM^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 6^2} = \sqrt{108 + 36} = \sqrt{144} = 12$ см. 4. Т.к. $KA \perp AB$ (по ТТП), то $S_{AKB} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72$ см$^2$. в) Расстояние между прямыми $AK$ и $BC$. Прямые $AK$ и $BC$ скрещивающиеся. $BC \parallel AD$, значит $BC \parallel (AKD)$. Искомое расстояние равно расстоянию от любой точки $BC$ до плоскости $(AKD)$, например от точки $B$. Так как $BA \perp AD$ и $BA \perp MK$, то $BA \perp (AKD)$. **Ответ:** $BA = 12$ см. **Задание 2** Дано: параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, $AC = 13$ см, $DC = 5$ см, $AA_1 = 12\sqrt{3}$ см. Найти $\angle ADC_1$. 1. В основании прямоугольник (по умолчанию для школьных задач данного типа), тогда $AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ см. 2. В прямоугольном $\triangle DD_1C_1$: $D_1C_1 = DC = 5$ см, $DD_1 = AA_1 = 12\sqrt{3}$ см. 3. $DC_1 = \sqrt{DD_1^2 + D_1C_1^2} = \sqrt{(12\sqrt{3})^2 + 5^2} = \sqrt{432 + 25} = \sqrt{457}$. 4. Т.к. $AD \perp (DCC_1)$, то $\triangle ADC_1$ — прямоугольный ($\angle ADC_1 = 90^{\circ}$). **Ответ:** $90^{\circ}$.