2. В остроугольном треугольнике ABC ∠A = 45°, BC = 13 см. На стороне AC взята точка D так, что DC = 5 см, BD = 12 см. Докажите, что треугольник BDC прямоугольный, и найдите площадь треугольника ABC.

### Задача 2 1. Докажем, что $\triangle BDC$ прямоугольный. Проверим выполнение теоремы Пифагора для сторон $BD = 12$ см, $DC = 5$ см и $BC = 13$ см: $BD^2 + DC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ $BC^2 = 13^2 = 169$ Так как $BD^2 + DC^2 = BC^2$, по обратной теореме Пифагора $\triangle BDC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D$ ($\angle BDC = 90^\circ$). 2. Из $\angle BDC = 90^\circ$ следует, что $\angle BDA = 180^∘ - 90^∘ = 90^∘$ (как смежные). Значит, $BD$ — высота $\triangle ABC$, проведенная к стороне $AC$. 3. В прямоугольном $\triangle ABD$: $\angle A = 45^\circ$, значит, $\angle ABD = 90^∘ - 45^∘ = 45^\circ$. Треугольник равнобедренный, $AD = BD = 12$ см. 4. Сторона $AC = AD + DC = 12 + 5 = 17$ см. 5. Площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 12 = 102$ см$^2$. **Ответ:** $S_{ABC} = 102$ см$^2$. ### Задача 3 а) Найдем площадь параллелограмма $ABCD$: 1. В $\triangle KBM$: $\angle K = 90^\circ$ (так как $MK \parallel AD \parallel BC$ и $BD \perp AB$). По условию $M$ — середина $BD$, значит $MK$ — средняя линия $\triangle ABD$ (проходит через середину стороны и параллельна основанию). 2. Тогда $AD = 2 \cdot MK = 2 \cdot 4 = 8$ см. 3. В прямоугольном $\triangle ABD$ ($\angle ABD = 90^\circ$): $\angle A = 60^\circ$, значит $\angle ADB = 30^\circ$. Катет $AB = AD \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot 0,5 = 4$ см. Высота $BD = AD \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см. 4. $S_{ABCD} = AB \cdot BD = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см$^2$. б) Найдем площадь $\triangle AMD$: 1. Площадь $\triangle ABD = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см$^2$. 2. Так как $AM$ — медиана $\triangle ABD$ (точка $M$ — середина $BD$), она делит треугольник на два равновеликих. 3. $S_{AMD} = \frac{1}{2} S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ:** а) $16\sqrt{3}$ см$^2$; б) $4\sqrt{3}$ см$^2$.