Вариант II. 1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1. 1) Периметр основания $P = 6 \cdot 10 = 60$. 2) Апофема $h_{a}$ из прямоугольного треугольника (боковая грань): $h_{a} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$. 3) Площадь боковой поверхности $S_{бок} = \frac{1}{2} P h_{a} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 12 = 360$. **Ответ: 360**. 2. 1) Полупериметр основания $p = \frac{4 \cdot 20}{2} = 40$. 2) Апофема $h_{a}$ из прямоугольного треугольника: $h_{a} = \sqrt{24^2 + (\frac{20}{2})^2} = \sqrt{576 + 100} = 26$. 3) Площадь поверхности $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 20^2 + 40 \cdot 26 = 400 + 1040 = 1440$. **Ответ: 1440**. 3. 1) Периметр основания $P = 3 \cdot 6 = 18$. 2) Апофема $h_{a} = \frac{2 S_{бок}}{P} = \frac{2 \cdot 126}{18} = 14$. 3) $PM$ — апофема в правильной пирамиде, так как $M$ — середина ребра основания $BC$. Значит, $PM = 14$. **Ответ: 14**. 4. 1) $PA \perp (ABC) \Rightarrow PA$ — высота. Грань $PBC$ наклонена под углом $60^\circ$, значит $\angle PMA = 60^\circ$ ($AM \perp BC$). 2) В равнобедренном $\triangle ABC$ ($AB=AC=5$) высота $AM = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$. 3) Из $\triangle PAM$: $PA = AM \cdot \tan 60^\circ = 3\sqrt{3}$, $PM = \frac{AM}{\cos 60^\circ} = 6$. 4) $S_{бок} = S_{PAB} + S_{PAC} + S_{PBC} = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3\sqrt{3}) + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 15\sqrt{3} + 24$. **Ответ: 15\sqrt{3} + 24**. 5. 1) В прямоугольном $\triangle ABC$: $AC = BC \cdot \cot 30^\circ = 5\sqrt{3}$. 2) Радиус описанной окружности $R = \frac{AB}{2}$. Гипотенуза $AB = \frac{BC}{\sin 30^\circ} = 10$, значит $R = 5$. 3) Т.к. боковые ребра наклонены под одним углом, высота $H$ падает в центр описанной окружности. 4) Из $\triangle HOB$: $H = R \cdot \tan 60^\circ = 5\sqrt{3}$. **Ответ: 5\sqrt{3}$**.