В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 40 см, а периметр треугольника ABM равен 32 см.

5. В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $AM$, проведённая к основанию $BC$, также является биссектрисой и высотой. Следовательно, $BM = MC = \frac{1}{2} BC$. Периметр $\triangle ABC = AB + AC + BC = 40$ см. Так как $AB = AC$, то $2AB + BC = 40$, откуда $AB + \frac{1}{2} BC = 20$ см. Периметр $\triangle ABM = AB + BM + AM = 32$ см. Заметим, что $BM = \frac{1}{2} BC$, тогда $AB + \frac{1}{2} BC + AM = 32$. Подставим известную сумму: $20 + AM = 32 \Rightarrow AM = 12$ см. **Ответ: 12 см**. 6. Аналогично задаче 5: медиана $AM$ к основанию делит его пополам ($BM = MC$). $P_{ABC} = 2AB + BC = 56$ см, значит $AB + \frac{1}{2} BC = 28$ см. $P_{ABM} = AB + BM + AM = 42$ см. Заменяем $BM$ на $\frac{1}{2} BC$: $AB + \frac{1}{2} BC + AM = 42$. Подставляем сумму: $28 + AM = 42 \Rightarrow AM = 14$ см. **Ответ: 14 см**. 7. Пусть $BH$ и $CK$ — высоты к боковым сторонам. В четырёхугольнике $AKMH$ углы $K$ и $H$ равны $90^{\circ}$, угол $KMH = \angle BMC = 140^{\circ}$ (вертикальные). Сумма углов четырёхугольника $360^{\circ}$, значит $\angle A = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании $B$ и $C$ равны: $(180^{\circ} - 40^{\circ}) : 2 = 70^{\circ}$. **Ответ: 40°, 70°, 70°**. 8. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$, значит $\angle B = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 60^{\circ}) = 80^{\circ}$. Биссектриса $BD$ делит угол $B$ пополам: $\angle ABD = 80^{\circ} : 2 = 40^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle ABH$ (где $BH$ — высота): $\angle ABH = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$. Угол между высотой и биссектрисой: $\angle HBD = \angle ABH - \angle ABD = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ}$. **Ответ: 10°**. 9. В равнобедренном $\triangle ABC$ ($AB = BC$) углы при основании равны: $\angle A = ∠ C = (180^{\circ} - 76^{\circ}) : 2 = 52^{\circ}$. Биссектрисы делят их пополам: $\angle MAC = \angle MCA = 52^{\circ} : 2 = 26^{\circ}$. В $\triangle AMC$: $\angle AMC = 180^{\circ} - (\angle MAC + \angle MCA) = 180^{\circ} - (26^{\circ} + 26^{\circ}) = 128^{\circ}$. **Ответ: 128°**.