Вариант 2. 1) Найдите первый член арифметической прогрессии (c_n), разность которой равна d, если: 1) c_12 = 17, d = 2; 2) c_4 = 7, c_9 = -8.

1) Найдите первый член арифметической прогрессии $(c_n)$: Используем формулу $c_n = c_1 + d(n - 1)$. 1) $c_{12} = 17, d = 2$ $17 = c_1 + 2(12 - 1) \Rightarrow 17 = c_1 + 22 \Rightarrow c_1 = 17 - 22 = -5$. **Ответ: -5**. 2) $c_4 = 7, c_9 = -8$ $\begin{cases} c_1 + 3d = 7 \\ c_1 + 8d = -8 \end{cases} \Rightarrow 5d = -15 \Rightarrow d = -3$ $c_1 + 3(-3) = 7 \Rightarrow c_1 - 9 = 7 \Rightarrow c_1 = 16$. **Ответ: 16**. 2) Найдите номер члена арифметической прогрессии $(a_n)$, равного $30,6$, если $a_1 = 12,2, d = 0,4$: $30,6 = 12,2 + 0,4(n - 1) \Rightarrow 18,4 = 0,4(n - 1) \Rightarrow n - 1 = 46 \Rightarrow n = 47$. **Ответ: 47**. 3) Является ли число $24,5$ членом арифметической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 10, d = 1,5$? $24,5 = 10 + 1,5(n - 1) \Rightarrow 14,5 = 1,5(n - 1) \Rightarrow n - 1 = 14,5 : 1,5 = 145/15 = 29/3 = 9\frac{2}{3}$ $n = 10\frac{2}{3}$. Так как $n$ не является целым числом, число $24,5$ не является членом прогрессии. **Ответ: нет**. 4) Дана арифметическая прогрессия $2; 1,8; 1,6; \dots$ Найдите номер первого отрицательного члена: $a_1 = 2, d = 1,8 - 2 = -0,2$. $a_n < 0 \Rightarrow 2 - 0,2(n - 1) < 0 \Rightarrow 2 < 0,2(n - 1) \Rightarrow n - 1 > 10 \Rightarrow n > 11$. Первое целое $n = 12$. **Ответ: 12**. 5) Найдите количество положительных членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 30, d = -1,6$: $a_n > 0 \Rightarrow 30 - 1,6(n - 1) > 0 \Rightarrow 30 > 1,6(n - 1) \Rightarrow n - 1 < 18,75 \Rightarrow n < 19,75$. Наибольшее целое $n = 19$. **Ответ: 19**. 6) Между числами $-4$ и $5$ вставьте пять таких чисел, чтобы они образовали арифметическую прогрессию: Всего в прогрессии будет $5 + 2 = 7$ членов. $a_1 = -4, a_7 = 5$. $5 = -4 + d(7 - 1) \Rightarrow 9 = 6d \Rightarrow d = 1,5$. Числа: $-4 + 1,5 = -2,5; \quad -2,5 + 1,5 = -1; \quad -1 + 1,5 = 0,5; \quad 0,5 + 1,5 = 2; \quad 2 + 1,5 = 3,5$. **Ответ: -2,5; -1; 0,5; 2; 3,5**. 7) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если: 1) $a_3 + a_9 = -2$ и $a_7 + a_{10} = 4$ $\begin{cases} (a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = -2 \\ (a_1 + 6d) + (a_1 + 9d) = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a_1 + 10d = -2 \\ 2a_1 + 15d = 4 \end{cases} \Rightarrow 5d = 6 \Rightarrow d = 1,2$ $2a_1 + 10(1,2) = -2 \Rightarrow 2a_1 + 12 = -2 \Rightarrow 2a_1 = -14 \Rightarrow a_1 = -7$. **Ответ: a₁ = -7, d = 1,2**. 2) $a_2 + a_5 = 24$ и $a_2 \cdot a_3 = 54$ $\begin{cases} a_1 + d + a_1 + 4d = 24 \\ (a_1 + d)(a_1 + 2d) = 54 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a_1 + 5d = 24 \\ (a_1 + d)(a_1 + 2d) = 54 \end{cases}$ $a_1 = (24 - 5d)/2 = 12 - 2,5d$. Подставим: $(12 - 1,5d)(12 - 0,5d) = 54 \Rightarrow 144 - 6d - 18d + 0,75d^2 = 54 \Rightarrow 0,75d^2 - 24d + 90 = 0$ $d^2 - 32d + 120 = 0$. По теореме Виета $d_1 = 30, d_2 = 4$. Если $d = 30$, то $a_1 = 12 - 2,5(30) = -63$. Если $d = 4$, то $a_1 = 12 - 2,5(4) = 2$. **Ответ: (a₁ = -63, d = 30) или (a₁ = 2, d = 4)**.