1. Рис. 469. Найти: ∠C₁, B₁C₁. 2. Рис. 470. Найти: ∠C, ∠C₁. 3. Рис. 471. Найти: BM.

1. **Рис. 469.** Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по второму признаку (две стороны пропорциональны, а углы между ними равны: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{2a}{3a} = \frac{2}{3}$, $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{2b}{3b} = \frac{2}{3}$ и $\angle A = \angle A_1$ — отмечено дугами). Из подобия следует равенство соответствующих углов и пропорциональность сторон: $\angle C_1 = \angle C = 71^{\circ}$ $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{2}{3} \Rightarrow B_1C_1 = \frac{BC \cdot 3}{2} = \frac{10 \cdot 3}{2} = 15$ **Ответ:** $\angle C_1 = 71^{\circ}$, $B_1C_1 = 15$. 2. **Рис. 470.** Проверим отношение сторон треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{10a}{5a} = 2$; $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{12c}{6c} = 2$; $\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{14b}{7b} = 2$. Так как три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, треугольники подобны по третьему признаку. В подобных треугольниках соответствующие углы равны: $\angle A_1 = \angle A = 80^{\circ}$ Поскольку сумма углов в треугольнике $180^{\circ}$, в $\triangle A_1B_1C_1$: $\angle C_1 = 180^{\circ} - (\angle A_1 + \angle B_1) = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 40^{\circ}) = 60^{\circ}$ $\angle C = \angle C_1 = 60^{\circ}$ **Ответ:** $\angle C = 60^{\circ}$, $\angle C_1 = 60^{\circ}$. 3. **Рис. 471.** Рассмотрим $\triangle MBN$ и $\triangle ABC$. Так как $MN \parallel AC$ (это следует из того, что стороны $AB$ и $BC$ пересечены прямой пропорционально, но проще считать их подобными по двум углам: $\angle B$ общий, $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные), то $\triangle MBN \sim \triangle ABC$. Обозначим $BM = x$. Тогда $AB = x + 3$. Используем пропорцию сходственных сторон: $\frac{BM}{AB} = \frac{MN}{AC} \Rightarrow \frac{x}{x + 3} = \frac{10}{15}$ $\frac{x}{x + 3} = \frac{2}{3}$ $3x = 2(x + 3) \Rightarrow 3x = 2x + 6 \Rightarrow x = 6$ **Ответ:** $BM = 6$.