Question

Вариант 3. 1. Упростите выражение: а) 2c(1+c)-(c-2)(c+4); б) (y+2)²-2y(y+2); в) 30x+3(x-5)². 2. Разложите на множители: а) 4a-a³; б) ax²+2ax+a. 3. Упростите выражение (b²+2b)²-b²(b-1)(b+1)+2b(3-2b²). 4. Разложите на множители: а) 16 - 1/81y⁴; б) a+a²-b-b². 5. Докажите, что выражение c²-2c+12 может принимать лишь положительные значения.

Accepted Answer

Вариант 3

1. Упростите выражение:
а) $2c(1 + c) - (c - 2)(c + 4) = 2c + 2c^2 - (c^2 + 4c - 2c - 8) = 2c + 2c^2 - c^2 - 2c + 8 = c^2 + 8$
б) $(y + 2)^2 - 2y(y + 2) = y^2 + 4y + 4 - 2y^2 - 4y = -y^2 + 4$
в) $30x + 3(x - 5)^2 = 30x + 3(x^2 - 10x + 25) = 30x + 3x^2 - 30x + 75 = 3x^2 + 75$

2. Разложите на множители:
а) $4a - a^3 = a(4 - a^2) = a(2 - a)(2 + a)$
б) $ax^2 + 2ax + a = a(x^2 + 2x + 1) = a(x + 1)^2$

3. Упростите выражение:
$(b^2 + 2b)^2 - b^2(b - 1)(b + 1) + 2b(3 - 2b^2) = (b^4 + 4b^3 + 4b^2) - b^2(b^2 - 1) + 6b - 4b^3 = b^4 + 4b^3 + 4b^2 - b^4 + b^2 + 6b - 4b^3 = 5b^2 + 6b$

4. Разложите на множители:
а) $16 - \frac{1}{81}y^4 = (4 - \frac{1}{9}y^2)(4 + \frac{1}{9}y^2) = (2 - \frac{1}{3}y)(2 + \frac{1}{3}y)(4 + \frac{1}{9}y^2)$
б) $a + a^2 - b - b^2 = (a - b) + (a^2 - b^2) = (a - b) + (a - b)(a + b) = (a - b)(1 + a + b)$

5. Докажите, что выражение $c^2 - 2c + 12$ может принимать лишь положительные значения.
Выделим полный квадрат:
$c^2 - 2c + 12 = (c^2 - 2c + 1) + 11 = (c - 1)^2 + 11$
Так как $(c - 1)^2 \geq 0$ при любом значении $c$, то $(c - 1)^2 + 11 \geq 11$. Следовательно, выражение всегда принимает только положительные значения.

Ответ ассистента

Другие решения