1. В прямоугольном треугольнике FNE с прямым углом E проведена высота EZ. Найдите величину угла F, если EZ = 17, а NE = 34. 2. Углы треугольника TZS относятся так: ∠T : ∠Z : ∠S = 1 : 2 : 3. ZR - биссектриса угла TZS. Длина отрезка RS равна 39. Найдите ZR.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $NEZ$ (так как $EZ$ — высота, $\angle EZN = 90^\circ$). В нём гипотенуза $NE = 34$, а катет $EZ = 17$. Так как катет $EZ$ в два раза меньше гипотенузы ($17 = 34 : 2$), то по свойству прямоугольного треугольника угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Значит, $\angle ENZ = 30^\circ$. В исходном прямоугольном треугольнике $FNE$ ($\angle E = 90^\circ$) сумма острых углов равна $90^\circ$: $\angle F = 90^\circ - \angle ENZ = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. **Ответ: 60**. 2. Пусть одна часть равна $x$. Тогда $\angle T = x$, $\angle Z = 2x$, $\angle S = 3x$. Сумма углов треугольника: $x + 2x + 3x = 180^\circ \Rightarrow 6x = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ$. Углы треугольника: $\angle T = 30^\circ$, $\angle Z = 60^\circ$, $\angle S = 90^\circ$. Так как $\angle S = 90^\circ$, треугольник $TSZ$ прямоугольный. $ZR$ — биссектриса угла $Z$, значит $\angle TZR = \angle SZR = 60^\circ : 2 = 30^\circ$. Рассмотрим треугольник $TZR$: $\angle T = 30^\circ$ и $\angle TZR = 30^\circ$. Углы при основании равны, значит треугольник равнобедренный, $ZR = TR$. В прямоугольном треугольнике $SZR$ ($\angle S = 90^\circ$): катет $RS$ лежит против угла $\angle SZR = 30^\circ$, значит гипотенуза $ZR$ в 2 раза больше $RS$. $ZR = 2 \cdot RS = 2 \cdot 39 = 78$. **Ответ: 78**.