В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 64°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD.

15. Так как $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, она делит его пополам. $\angle BAD = \angle BAC : 2 = 64^{\circ} : 2 = 32^{\circ}$. **Ответ: 32**. 16. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = 35^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, значит: $\angle ABC = 180^{\circ} - (35^{\circ} + 35^{\circ}) = 110^{\circ}$. Угол $\angle ABC$ — вписанный, опирающийся на дугу $ADC$. Центральный угол $\angle AOC$ в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Но здесь угол $\angle AOC$ (меньший) опирается на дугу $AC$, а $\angle ABC$ — на большую дугу. Дуга $ADC = 2 \cdot \angle ABC$ не подходит по смыслу чертежа. Рассмотрим стандартную теорему: центральный угол $\angle AOC$ в два раза больше вписанного $\angle ABC$, если они опираются на одну дугу. Однако здесь точки $B$ и $O$ лежат по разные стороны от $AC$. $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC$ (для центрального угла, соответствующего дуге $ABC$). Проще: дуга $AC$ (не содержащая $B$) равна $2 \cdot \angle ABC$ быть не может. Вписанный угол $\angle ABC = 110^{\circ}$ опирается на дугу $ADC$, градусная мера которой $220^{\circ}$. Тогда градусная мера дуги $ABC$ равна $360^{\circ} - 220^{\circ} = 140^{\circ}$. Центральный угол $\angle AOC$ опирается на дугу $AC$ и равен её градусной мере. **Ответ: 140**. 17. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Высота в данном задании является избыточным данным. $m = \frac{a + b}{2} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$. **Ответ: 8**. 18. По рисунку на клетчатой бумаге определим катеты прямоугольного треугольника, считая клетки: горизонтальный катет равен 8 клеткам, вертикальный катет равен 6 клеткам. Больший катет равен 8. **Ответ: 8**. 19. Разберем утверждения: 1) Верно. Это определение радиуса. 2) Неверно. Средняя линия равна полусумме оснований. 3) Неверно. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту или произведению сторон на синус угла между ними. **Ответ: 1**.