Question

700 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б) Найдите их значения, если b = 10 см, β = 50°.

Accepted Answer

В прямоугольном треугольнике катет $b$ лежит против угла $\beta$.

а) Выражение сторон через $b$ и $\beta$:

1. Другой катет (обозначим его $a$) является прилежащим к углу $\beta$. По определению котангенса: $\operatorname{ctg} \beta = \frac{a}{b}$, откуда $a = b \cdot \operatorname{ctg} \beta$ (или через тангенс: $a = \frac{b}{\operatorname{tg} \beta}$).
2. Гипотенуза (обозначим ее $c$) связана с противолежащим катетом через синус: $\sin \beta = \frac{b}{c}$, откуда $c = \frac{b}{\sin \beta}$.
3. Другой острый угол (противолежащий катету $a$) равен $90^\circ - \beta$.

б) Нахождение значений при $b = 10$ см, $\beta = 50^\circ$:

1. Другой катет: $a = 10 \cdot \operatorname{ctg} 50^\circ \approx 10 \cdot 0,8391 \approx 8,39$ см.
2. Гипотенуза: $c = \frac{10}{\sin 50^\circ} \approx \frac{10}{0,766} \approx 13,05$ см.
3. Второй острый угол: $90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

Ответ: а) $a = b \operatorname{ctg} \beta$, $c = \frac{b}{\sin \beta}$; б) $a \approx 8,39$ см, $c \approx 13,05$ см, второй угол $40^\circ$.

Ответ ассистента

Другие решения