Решите прямоугольный треугольник: 1) по двум катетам a = 7 см и b = 35 см; 2) по гипотенузе c = 17 см и катету a = 8 см; 3) по гипотенузе c = 4 см и острому углу a = 50°; 4) по катету a = 8 см и противолежащему углу a = 42°.

Решить прямоугольный треугольник — значит найти все его неизвестные стороны и углы. **1) По двум катетам $a = 7$ см и $b = 35$ см:** 1. Гипотенуза $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 35^2} = \sqrt{49 + 1225} = \sqrt{1274} = 7\sqrt{26} \approx 35,69$ см. 2. $\text{tg } \alpha = \frac{a}{b} = \frac{7}{35} = 0,2 \Rightarrow \alpha \approx 11,31^\circ$. 3. $\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 11,31^\circ = 78,69^\circ$. **Ответ:** $c \approx 35,69$ см, $\alpha \approx 11,31^\circ$, $\beta \approx 78,69^\circ$. **2) По гипотенузе $c = 17$ см и катету $a = 8$ см:** 1. Катет $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см. 2. $\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{8}{17} \approx 0,4706 \Rightarrow \alpha \approx 28,07^\circ$. 3. $\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 28,07^\circ = 61,93^\circ$. **Ответ:** $b = 15$ см, $\alpha \approx 28,07^\circ$, $\beta \approx 61,93^\circ$. **3) По гипотенузе $c = 4$ см и острому углу $\alpha = 50^\circ$:** 1. Угол $\beta = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. 2. Катет $a = c \cdot \sin \alpha = 4 \cdot \sin 50^\circ \approx 4 \cdot 0,766 = 3,064$ см. 3. Катет $b = c \cdot \cos \alpha = 4 \cdot \cos 50^\circ \approx 4 \cdot 0,6428 = 2,5712$ см. **Ответ:** $\beta = 40^\circ$, $a \approx 3,06$ см, $b \approx 2,57$ см. **4) По катету $a = 8$ см и противолежащему углу $\alpha = 42^\circ$:** 1. Угол $\beta = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$. 2. Гипотенуза $c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{8}{\sin 42^\circ} \approx \frac{8}{0,6691} \approx 11,96$ см. 3. Катет $b = \frac{a}{\text{tg } \alpha} = \frac{8}{\text{tg } 42^\circ} \approx \frac{8}{0,9004} \approx 8,89$ см. **Ответ:** $\beta = 48^\circ$, $c \approx 11,96$ см, $b \approx 8,89$ см.