Решите уравнение $(\text{tg}^2 x - 1)\sqrt{13 \cos x} = 0$. Найдите сумму корней, принадлежащих промежутку $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$. В ответ укажите целое число или десятичную дробь, деленную на $\pi$.

Решим уравнение $(\text{tg}^2 x - 1)\sqrt{13 \cos x} = 0$. 1. **Найдем область допустимых значений (ОДЗ):** Под коренное выражение должно быть неотрицательным: $13 \cos x \ge 0 \Rightarrow \cos x \ge 0$. Также тангенс определен, когда $\cos x \neq 0$. Значит, условие сужается до: $\cos x > 0$. 2. **Приравняем множители к нулю:** — $\sqrt{13 \cos x} = 0 \Rightarrow \cos x = 0$ (не входит в ОДЗ). — $\text{tg}^2 x - 1 = 0 \Rightarrow \text{tg}^2 x = 1 \Rightarrow \text{tg } x = \pm 1$. 3. **Найдем корни с учетом ОДЗ ($\cos x > 0$):** — Если $\text{tg } x = 1$ и $\cos x > 0$, то $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. — Если $\text{tg } x = -1$ и $\cos x > 0$, то $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. 4. **Отберем корни на промежутке $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$:** — Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$: При $n = -1: x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} = -1,75\pi$ (входит в промежуток). При $n = -2: x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -3,75\pi$ (не входит). — Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$: При $k = -1: x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4} = -2,25\pi$ (входит в промежуток). При $k = -2: x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -4,25\pi$ (не входит). 5. **Найдем сумму корней:** $S = -\frac{7\pi}{4} + \left(-\frac{9\pi}{4}\right) = -\frac{16\pi}{4} = -4\pi$. 6. **Подготовим ответ согласно инструкции:** Нужно указать число, деленное на $\pi$. $-4\pi / \pi = -4$. **Ответ: -4**