333. Прямая, параллельная основанию AC равнобедренного треугольника ABC, пересекает его боковые стороны AB и BC в точках D и F соответственно. Докажите, что треугольник DBF — равнобедренный. 342. Прямая, проведённая через вершину А треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной АС угол, равный углу ВАС. Докажите, что данный треугольник — равнобедренный.

333. **Дано:** $\triangle ABC$ — равнобедренный ($AB = BC$), $DF \parallel AC$. **Доказать:** $\triangle DBF$ — равнобедренный. **Доказательство:** 1. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то $\angle A = \angle C$ (углы при основании). 2. При параллельных прямых $DF$ и $AC$ и секущей $AB$ углы $\angle BDF$ и $\angle A$ являются соответственными, значит $\angle BDF = \angle A$. 3. Аналогично, при секущей $BC$ углы $\angle BFD$ и $\angle C$ являются соответственными, значит $\angle BFD = \angle C$. 4. Так как $\angle A = \angle C$, то $\angle BDF = \angle BFD$. 5. В $\triangle DBF$ два угла равны, следовательно, он равнобедренный (по признаку), что и требовалось доказать. 342. **Дано:** $\triangle ABC$, прямая $AK \parallel BC$, $\angle KAC = \angle BAC$. **Доказать:** $\triangle ABC$ — равнобедренный. **Доказательство:** 1. Пусть прямая $AK$ проходит через вершину $A$ параллельно $BC$. Тогда $\angle KAC$ и $\angle ACB$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых $AK$, $BC$ и секущей $AC$. Следовательно, $\angle KAC = \angle ACB$. 2. По условию задачи $\angle KAC = \angle BAC$. 3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $\angle BAC = \angle ACB$. 4. В $\triangle ABC$ два угла равны, значит, он равнобедренный с основанием $AC$ (по признаку), что и требовалось доказать.