Контрольная работа № 4 по теме «Сумма углов треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника». Вариант 1.

Часть 1. 1. Рассмотрим рисунок к заданию 1. В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^{\circ}$. Найдём третий угол: $\angle A = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 28^{\circ}) = 180^{\circ} - 88^{\circ} = 92^{\circ}$. Анализ утверждений: 1) $\triangle ABC$ — прямоугольный. (Ложно, нет угла $90^{\circ}$) 2) $\triangle ABC$ — тупоугольный. (Верно, так как $\angle A = 92^{\circ} > 90^{\circ}$) 3) $\triangle ABC$ — равнобедренный. (Ложно, все углы разные: $92^{\circ}$, $60^{\circ}$, $28^{\circ}$) 4) $\angle 1$ — внешний угол треугольника $ABC$. (Верно, это смежный угол к внутреннему углу при вершине $C$) 5) $\angle 2$ — внешний угол треугольника $ABC$. (Ложно, это вертикальный угол к внутреннему углу $B$, внешним углом он не является) **Ответ: 2, 4**. Часть 2. 2. В равностороннем треугольнике все углы равны по $60^{\circ}$. Высота в таком треугольнике также является биссектрисой. Биссектриса делит угол пополам: $60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. Высота образует с основанием угол $90^{\circ}$. Таким образом, высота делит равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника с углами $90^{\circ}$, $60^{\circ}$ и $30^{\circ}$. **Ответ: 90°, 60°, 30°**. 3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $BC$ углы при основании равны: $\angle B = \angle C = 68^{\circ}$. Найдём угол при вершине $A$: $\angle A = 180^{\circ} - (68^{\circ} + 68^{\circ}) = 180^{\circ} - 136^{\circ} = 44^{\circ}$. Так как $OP \parallel AC$, то $\angle BOP$ и $\angle BAC$ — соответственные при параллельных прямых и секущей $AB$. Значит, $\angle BOP = \angle A = 44^{\circ}$. **Ответ: 44°**. 4. В $\triangle CDE$ стороны $CE = DE$, значит он равнобедренный и $\angle C = \angle D$. Так как $CM$ и $DH$ — биссектрисы, то $\angle DCM = \angle MCD = \angle CDH = \angle HDE$ (как половины равных углов). Рассмотрим $\triangle DAM$ и $\triangle CAH$. В них: $AD = AC$ (так как $\triangle CDE$ равнобедренный), $\angle A$ — общий, $\angle ADM = \angle ACH$ (как половины равных углов). Следовательно, $\triangle DAM = \triangle CAH$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам).