Тема. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. К-3 В-1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 56 градусов. Найдите углы при основании этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. $(180^{\circ} - 56^{\circ}) : 2 = 124^{\circ} : 2 = 62^{\circ}$. **Ответ: $62^{\circ}$ и $62^{\circ}$.** 2. На рис. 268 прямые $EF$ и $AD$ параллельны, так как накрест лежащие углы равны ($56^{\circ} = 56^{\circ}$). Тогда соответственные углы при секущей $MK$ также равны. $\angle MC D = 72^{\circ}$. Угол $\angle CMK$ и $\angle MCD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $EK \parallel AD$ и секущей $MC$. $\angle CMK = \angle MCD = 72^{\circ}$. **Ответ: $72^{\circ}$.** 3. На рис. 269 рассмотрим $\triangle DCF$. Угол $\angle BCF$ является внешним для $\triangle DCF$? Нет, рассмотрим $\triangle DCF$: $\angle C = 180^{\circ} - (48^{\circ} + 64^{\circ}) = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}$. Теперь рассмотрим $\triangle ACE$. Угол $\angle CEF = 64^{\circ}$ является внешним для $\triangle ACE$. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: $\angle CEF = \angle A + \angle ACE$ $64^{\circ} = \angle A + 15^{\circ}$ $\angle A = 64^{\circ} - 15^{\circ} = 49^{\circ}$. **Ответ: $49^{\circ}$.** 4. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle B = 30^{\circ} \Rightarrow \angle A = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}$. В $\triangle ADC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle ADC = 60^{\circ} \Rightarrow \angle CAD = 30^{\circ}$. Катет $CD$ лежит против угла в $30^{\circ}$ в $\triangle ADC$, значит гипотенуза $AD = 2 \cdot CD = 2 \cdot 5 = 10$ см. Найдем $\angle DAB = \angle BAC - \angle CAD = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$. Так как $\angle DAB = \angle B = 30^{\circ}$, то $\triangle ADB$ — равнобедренный, $BD = AD = 10$ см. $BC = BD + CD = 10 + 5 = 15$ см. **Ответ: 15 см.** 5. Рассмотрим $\triangle AMB$ и $\triangle CKD$: 1) $AB = CD$ (по условию); 2) $AM = CK$ (по условию); 3) $\angle MAB = \angle KCD$ (накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $AC$). Следовательно, $\triangle AMB = \triangle CKD$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что $\angle AMB = \angle CKD$ (что дано) и $BM = DK$. Рассмотрим $\triangle BMC$ и $\triangle DKA$: $MC = AC - AM$, $AK = AC - CK$. Так как $AM = CK$, то $MC = AK$. Из равенства $\triangle AMB$ и $\triangle CKD$ следует $BM = DK$. Углы $\angle BMC = 180^{\circ} - \angle AMB$ и $\angle DKA = 180^{\circ} - \angle CKD$. Так как $\angle AMB = \angle CKD$, то $\angle BMC = \angle DKA$. Значит, $\triangle BMC = \triangle DKA$ по двум сторонам и углу. Из равенства треугольников следует $\angle MCB = \angle KAD$. Эти углы являются накрест лежащими для прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Раз они равны, то $BC \parallel AD$. Что и требовалось доказать.