216 Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны. 217 Прямые, содержащие высоты AA1 и BB1 треугольника ABC, пересекаются в точке H, угол B - тупой, угол C = 20. Найдите угол AHB.

216. Пусть прямые $a ∥ b$ пересечены секущей $c$. а) Накрест лежащие углы равны (̑∠1 = ∠2). Биссектрисы этих углов делят их на равные части: $∠1/2 = ∠2/2$. Полученные углы при биссектрисах также являются накрест лежащими для прямых, содержащих биссектрисы. Так как эти углы равны, то биссектрисы параллельны. б) Сумма односторонних углов равна $180^{∘}$ (∠1 + ∠2 = $180^{∘}$). Биссектрисы делят их пополам, значит, сумма половин углов равна $180^{∘} / 2 = 90^{∘}$. В треугольнике, образованном секущей и биссектрисами, сумма двух углов равна $90^{∘}$, следовательно, третий угол (угол между биссектрисами) равен $180^{∘} - 90^{∘} = 90^{∘}$. Биссектрисы перпендикулярны. 217. В треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $H$. Рассмотрим четырехугольник $A_1CB_1H$. Сумма его углов равна $360^{∘}$. Так как $AA_1 ∥ BC$ и $BB_1 ∥ AC$, то $∠CA_1H = 90^{∘}$ и $∠CB_1H = 90^{∘}$. $∠A_1HB_1 = 360^{∘} - (∠CA_1H + ∠CB_1H + ∠C) = 360^{∘} - (90^{∘} + 90^{∘} + 20^{∘}) = 160^{∘}$. Углы $AHB$ и $A_1HB_1$ — вертикальные, значит $∠AHB = ∠A_1HB_1 = 160^{∘}$. **Ответ: 160$^{∘}$**.