Самостоятельная работа по теме «Длина окружности и площадь круга». Вариант 1. 1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если радиус окружности равен 5 см.

### Вариант 1 1. Найдём площадь круга $S = \pi r^2$ и длину окружности $C = 2\pi r$ при $r = 5$ см: $S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ (см²) $C = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi$ (см) **Ответ: $25\pi$ см², $10\pi$ см.** 2. Длина дуги окружности вычисляется по формуле $l = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$, где $\alpha = 45^\circ$, $r = 8$ м: $l = \frac{\pi \cdot 8 \cdot 45}{180} = \frac{\pi \cdot 8}{4} = 2\pi$ (м) **Ответ: $2\pi$ м.** 3. Используем формулу длины дуги $l = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$, чтобы найти $\alpha$, если $l = 8\pi$ и $r = 6$: $8\pi = \frac{\pi \cdot 6 \cdot \alpha}{180} \Rightarrow 8 = \frac{\alpha}{30} \Rightarrow \alpha = 240^\circ$ **Ответ: $240^\circ$.** 4. Площадь кольца $S_{кольца} = S_1 - S_2 = \pi R^2 - \pi r^2$ при $R = 13$ см, $r = 11$ см: $S = \pi(13^2 - 11^2) = \pi(169 - 121) = 48\pi$ (см²) **Ответ: $48\pi$ см².** 5. Площадь кругового сектора $S_{сект} = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}$ при $r = 5$ см, $\alpha = 60^\circ$: $S = \frac{\pi \cdot 5^2 \cdot 60}{360} = \frac{25\pi}{6} \approx 4,17\pi$ (см²) **Ответ: $\frac{25}{6}\pi$ см².** 6. Из формулы $S_{сект} = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}$ найдём $r$, если $S = 9\pi$ м², $\alpha = 40^\circ$: $9\pi = \frac{\pi r^2 \cdot 40}{360} \Rightarrow 9 = \frac{r^2}{9} \Rightarrow r^2 = 81 \Rightarrow r = 9$ (м) **Ответ: 9 м.** ### Вариант 2 1. Найдём площадь круга $S$ и длину окружности $C$ при $r = 5$ см: $S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ (см²) $C = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi$ (см) **Ответ: $25\pi$ см², $10\pi$ см.** 2. Площадь кольца $S = \pi(R^2 - r^2)$ при $R = 15$ см, $r = 12$ см: $S = \pi(15^2 - 12^2) = \pi(225 - 144) = 81\pi$ (см²) **Ответ: $81\pi$ см².** 3. Площадь кругового сектора $S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}$ при $r = 12$ см, $\alpha = 20^\circ$: $S = \frac{\pi \cdot 12^2 \cdot 20}{360} = \frac{\pi \cdot 144 \cdot 1}{18} = 8\pi$ (см²) **Ответ: $8\pi$ см².** 4. Из формулы $S_{сект} = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}$ найдём $\alpha$, если $S = 10\pi$ м², $r = 6$ м: $10\pi = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot \alpha}{360} \Rightarrow 10 = \frac{36\alpha}{360} \Rightarrow 10 = \frac{\alpha}{10} \Rightarrow \alpha = 100^\circ$ **Ответ: $100^\circ$.** 5. Длина дуги $l = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$ при $r = 12$ дм, $\alpha = 60^\circ$: $l = \frac{\pi \cdot 12 \cdot 60}{180} = \frac{12\pi}{3} = 4\pi$ (дм) **Ответ: $4\pi$ дм.** 6. Из формулы $l = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$ найдём $r$, если $l = 8\pi$, $\alpha = 45^\circ$: $8\pi = \frac{\pi \cdot r \cdot 45}{180} \Rightarrow 8 = \frac{r}{4} \Rightarrow r = 32$ **Ответ: 32.**