Контрольная работа «Параллельные прямые, сумма углов треугольника». 2 Вариант. №1. Прямые a и b пересечены прямыми c и d. Найдите угол α.

### Решение контрольной работы №2 «Параллельные прямые, сумма углов треугольника» **№1.** На чертеже углы $108^{\circ}$ и $72^{\circ}$ являются односторонними при прямых $b$ и $a$ и секущей $c$. Так как их сумма $108^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ}$, то по признаку параллельности прямых $a \parallel b$. Угол, смежный с углом $95^{\circ}$, равен $180^{\circ} - 95^{\circ} = 85^{\circ}$. Этот угол и угол $\alpha$ являются соответственными при параллельных прямых $a \parallel b$ и секущей $d$. Следовательно, $\alpha = 85^{\circ}$. **Ответ:** $85^{\circ}$. **№2.** Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. В треугольнике $ABC$ сумма углов $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$. $\angle 4 = 180^{\circ} - (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3) = 180^{\circ} - (138^{\circ} + 42^{\circ} + 75^{\circ})$. Заметим, что сумма $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 255^{\circ}$, что больше $180^{\circ}$. В данной задаче, вероятно, опечатка в условии (сумма $\angle 1, \angle 2, \angle 3$ не может превышать $180^{\circ}$ для углов внутри треугольника). **Допущение:** Если рассматривать $\angle 1$ как внешний угол, то решение изменится, но данных недостаточно для точного определения чертежа. **№3.** Так как $a \parallel b$, то накрест лежащие углы равны, а односторонние в сумме дают $180^{\circ}$. На рисунке угол $\angle 1$ и угол, вертикальный углу $\angle 2$, являются односторонними. Также можно заметить, что $\angle 1$ и $\angle 3$ — соответственные при секущей. Сумма углов $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3$ для данного расположения на параллельных прямых будет составлять $360^{\circ}$, так как $\angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ}$ (как односторонние) и $\angle 3$ дополняет картину. **Ответ:** $360^{\circ}$. **№4.** На рисунке даны два угла: $75^{\circ}$ и $75^{\circ}$. Они являются накрест лежащими при прямых $a, b$ и секущей. По признаку параллельности прямых: «Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны». Маша не права, ссылаясь на «свойство», так как свойство — это утверждение о уже параллельных прямых. Здесь нужно использовать **признак параллельности прямых**. **Ответ:** Маша не права; нужно сослаться на признак параллельности прямых по равенству накрест лежащих углов. **№5.** В треугольнике $MNF$: $\angle N = 90^{\circ}$, $\angle M = 30^{\circ}$. Тогда $\angle F = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. $FD$ — биссектриса, значит $\angle MFD = \angle NFD = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. В треугольнике $MFD$ углы при основании $MF$ равны (по $30^{\circ}$), значит $\triangle MFD$ — равнобедренный, $MD = FD = 20$ см. В прямоугольном треугольнике $NFD$ катет $ND$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $ND = \frac{1}{2} FD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см. $MN = MD + ND = 20 + 10 = 30$ см. **Ответ:** $30$ см. **№6.** В треугольнике $BCD$: $\angle BCD = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 75^{\circ}) = 75^{\circ}$. Значит, $\triangle BCD$ — равнобедренный, $BD = BC$. По условию $AD = BC$, следовательно, $AD = BD$. Тогда $\triangle ABD$ — равнобедренный с основанием $AB$. В $\triangle ABD$ угол $\angle ADB = \angle ADC - \angle BDC$. По чертежу $\angle ADC = 40^{\circ} + 40^{\circ} = 80^{\circ}$ (если $40^{\circ}$ — это часть). Пусть $\angle BDA = 40^{\circ}$. Тогда $\angle BAD = (180^{\circ} - 40^{\circ}) : 2 = 70^{\circ}$. **Ответ:** $70^{\circ}$.