Question

Высоты, проведённые к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника, если угол BMC равен 140°.

Accepted Answer

1. Пусть $BH$ — высота, проведённая к стороне $AC$, а $CK$ — высота, проведённая к стороне $AB$. Точка $M$ — точка их пересечения.
2. Рассмотрим четырёхугольник $AKMH$. Сумма его углов равна $360^{\circ}$. Так как $BH \perp AC$ и $CK \perp AB$, то $\angle AKM = 90^{\circ}$ и $\angle AHM = 90^{\circ}$.
3. Углы $\angle K MH$ и $\angle BMC$ являются вертикальными, значит, $\angle KMH = \angle BMC = 140^{\circ}$.
4. Найдём угол $A$ из четырёхугольника $AKMH$: $\angle A = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$.
5. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$ (боковые стороны $AB$ и $AC$), углы при основании равны: $\angle B = \angle C = (180^{\circ} - \angle A) : 2 = (180^{\circ} - 40^{\circ}) : 2 = 140^{\circ} : 2 = 70^{\circ}$.

Ответ: 40°, 70°, 70°.

Ответ ассистента

Другие решения