Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 12 см.

3. Чтобы определить вид треугольника, воспользуемся следствием из теоремы косинусов. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон: $12^2 = 144$ $5^2 + 9^2 = 25 + 81 = 106$ Так как $144 > 106$, то квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон. **Ответ: треугольник тупоугольный.** 4. Пусть одна сторона — $x$ см, тогда вторая — $(x + 6)$ см. Угол между ними $\alpha = 120^\circ$. Третья сторона $c = 21$ см. По теореме косинусов: $21^2 = x^2 + (x + 6)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 6) \cdot \cos 120^\circ$ $441 = x^2 + x^2 + 12x + 36 - 2(x^2 + 6x) \cdot (-0,5)$ $441 = 2x^2 + 12x + 36 + x^2 + 6x$ $3x^2 + 18x - 405 = 0$ | : 3 $x^2 + 6x - 135 = 0$ $D = 36 - 4 \cdot (-135) = 36 + 540 = 576 = 24^2$ $x_1 = \frac{-6 + 24}{2} = 9$; $x_2 = -15$ (не подходит). Стороны: 9 см и $9 + 6 = 15$ см. Периметр: $P = 9 + 15 + 21 = 45$ см. **Ответ: 45 см.** 5. Проверим, не является ли треугольник вырожденным. Сумма меньших сторон $18 + 20 = 38 > 34$, треугольник существует. Найдем его площадь по формуле Герона: $p = \frac{18 + 20 + 34}{2} = 36$ $S = \sqrt{36 \cdot (36 - 18) \cdot (36 - 20) \cdot (36 - 34)} = \sqrt{36 \cdot 18 \cdot 16 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 36 \cdot 16} = 6 \cdot 6 \cdot 4 = 144$ см$^2$. Радиус описанной окружности $R = \frac{abc}{4S}$: $R = \frac{18 \cdot 20 \cdot 34}{4 \cdot 144} = \frac{18 \cdot 20 \cdot 34}{576} = \frac{12240}{576} = 21,25$ см. **Ответ: 21,25 см.** 6. Используем формулу длины медианы: $m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$. $\sqrt{29} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - c^2}$ $2\sqrt{29} = \sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - c^2}$ $4 \cdot 29 = 98 + 162 - c^2$ $116 = 260 - c^2$ $c^2 = 144$ $c = 12$ см. **Ответ: 12 см.**