Question

На рисунке 347, б изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (a₃ — сторона треугольника, P — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).

Accepted Answer

Для решения задачи используем формулы для правильного (равностороннего) треугольника:
1. Связь стороны $a_3$ и радиуса описанной окружности $R$: $a_3 = R\sqrt{3}$.
2. Связь стороны $a_3$ и радиуса вписанной окружности $r$: $r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}$ или $r = \frac{R}{2}$.
3. Периметр: $P = 3a_3$.
4. Площадь: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$.

Заполним таблицу по строкам:

1. Дано $R = 3$. Тогда:
$r = \frac{3}{2} = 1,5$;
$a_3 = 3\sqrt{3}$;
$P = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$;
$S = \frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} = 6,75\sqrt{3}$.

2. Дано $r = 2$. Тогда:
$R = 2r = 4$;
$a_3 = 4\sqrt{3}$;
$P = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$;
$S = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$.

3. Дано $a_3 = 5$. Тогда:
$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$;
$r = \frac{R}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$;
$P = 3 \cdot 5 = 15$;
$S = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} = 6,25\sqrt{3}$.

4. Дано $P = 6$. Тогда:
$a_3 = P : 3 = 2$;
$R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$;
$r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$;
$S = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

5. Дано $S = 10$. Тогда:
$a_3^2 = \frac{40}{\sqrt{3}} \Rightarrow a_3 = \sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}$ (или $\approx 4,8$);
$P = 3a_3 = \frac{6\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3}}$;
$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt{3}}$;
$r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt{3}}$.

Итоговая таблица:

| N | R | r | $a_3$ | P | S |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 1,5 | $3\sqrt{3}$ | $9\sqrt{3}$ | $6,75\sqrt{3}$ |
| 2 | 4 | 2 | $4\sqrt{3}$ | $12\sqrt{3}$ | $12\sqrt{3}$ |
| 3 | $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ | $\frac{5\sqrt{3}}{6}$ | 5 | 15 | $6,25\sqrt{3}$ |
| 4 | $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 2 | 6 | $\sqrt{3}$ |
| 5 | $\approx 2,77$ | $\approx 1,39$ | $\approx 4,8$ | $\approx 14,4$ | 10 |

Ответ ассистента

Другие решения