Задача 4. Периметр равнобедренного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника. Остроугольным или тупоугольным является данный треугольник? Задача №5. В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе BC отметили точку M так, что ∠ACM = ∠MAC = 30°. Докажите, что точка M - середина отрезка BC.

Задача 4. В равнобедренном треугольнике две стороны (боковые) равны. Рассмотрим два случая: 1. Пусть боковая сторона $x$, а основание $x + 17$. $x + x + (x + 17) = 77$ $3x = 60$ $x = 20$ Стороны: 20 см, 20 см, 37 см. Проверка неравенства треугольника: $20 + 20 > 37$ (верно). Тип треугольника: $20^2 + 20^2 = 800$, а $37^2 = 1369$. Так как $37^2 > 20^2 + 20^2$, треугольник тупоугольный. 2. Пусть боковая сторона $x$, а основание $x - 17$. $x + x + (x - 17) = 77$ $3x = 94$ $x = 31\frac{1}{3}$ Стороны: $31\frac{1}{3}$ см, $31\frac{1}{3}$ см, $14\frac{1}{3}$ см. Тип треугольника: $(14\frac{1}{3})^2 < (31\frac{1}{3})^2 + (31\frac{1}{3})^2$, треугольник остроугольный. **Ответ:** 20 см, 20 см, 37 см (тупоугольный) или $31\frac{1}{3}$ см, $31\frac{1}{3}$ см, $14\frac{1}{3}$ см (остроугольный). Задача №5. 1. В $\triangle AMC$: $\angle MAC = \angle ACM = 30^{\circ}$, значит $\triangle AMC$ — равнобедренный ($AM = MC$). 2. Найдём $\angle AMC = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$. 3. Смежный с ним $\angle AMB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. 4. В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\angle A = 90^{\circ}$): $\angle B = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 5. В $\triangle AMB$: $\angle B = 60^{\circ}$ и $\angle AMB = 60^{\circ}$, значит $\angle MAB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 60^{\circ}$. $\triangle AMB$ — равносторонний ($AM = MB$). 6. Так как $AM = MC$ и $AM = MB$, то $MB = MC$. Следовательно, точка $M$ — середина $BC$. Что и требовалось доказать.