1. В треугольнике ABC AB > BC > AC. Найдите ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника равен 120°, а другой 40°.

1. В треугольнике сумма углов равна $180^{\circ}$. По условию даны два угла: $120^{\circ}$ и $40^{\circ}$. Третий угол: $180^{\circ} - (120^{\circ} + 40^{\circ}) = 20^{\circ}$. В геометрии существует правило: против большей стороны лежит больший угол. Так как $AB > BC > AC$, то $\angle C > \angle A > \angle B$. Распределим найденные углы: $\angle C = 120^{\circ}$, $\angle A = 40^{\circ}$, $\angle B = 20^{\circ}$. **Ответ: $\angle A = 40^{\circ}$, $\angle B = 20^{\circ}$, $\angle C = 120^{\circ}$**. 2. Рассмотрим $\triangle DME$. Угол $\angle CMD$ является внешним для $\triangle DME$ при вершине $M$. По свойству внешнего угла: $\angle CMD = \angle MDE + \angle MED$. Значит, $\angle CMD > \angle MED$. По условию $\angle CMD$ — острый, тогда и $\angle MED$ — острый. Однако, $\angle DME$ и $\angle CMD$ — смежные, значит $\angle DME = 180^{\circ} - \angle CMD$. Так как $\angle CMD < 90^{\circ}$, то $\angle DME > 90^{\circ}$ (тупой). В $\triangle DME$ угол $\angle DME$ — самый большой (так как в треугольнике может быть только один тупой угол). Против большего угла лежит большая сторона, значит $DE > DM$. Что и требовалось доказать. 3. Пусть боковая сторона равна $x$, тогда основание может быть $x+9$ или $x-9$. Сумма сторон (периметр) $P = 45$ см. Случай 1: Боковые стороны $x, x$, основание $x+9$. $x + x + x + 9 = 45 \Rightarrow 3x = 36 \Rightarrow x = 12$ см. Стороны: $12, 12, 21$. Проверим неравенство треугольника: $12+12 > 21$ (верно). Так как треугольник тупоугольный, квадрат большей стороны должен быть больше суммы квадратов двух других: $21^2 > 12^2 + 12^2 \Rightarrow 441 > 144 + 144$ (верно). Случай 2: Боковые стороны $x, x$, основание $x-9$. $x + x + x - 9 = 45 \Rightarrow 3x = 54 \Rightarrow x = 18$ см. Стороны: $18, 18, 9$. Проверим на тупоугольность: $18^2 < 18^2 + 9^2$ (это остроугольный треугольник, не подходит). **Ответ: 12 см, 12 см, 21 см**. 4. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. 1) $AD = BC$ (по условию); 2) $\angle 1 = \angle 2 = 90^{\circ}$ (по условию); 3) $BD$ — общая сторона. Треугольники равны по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = DC$. Что и требовалось доказать. 5. Расстояние от точки $F$ до прямой $DE$ — это перпендикуляр $FH$. По условию $EF$ — биссектриса угла $\angle CED$. Точка $F$ лежит на биссектрисе угла. По свойству биссектрисы угла, любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон этого угла. Расстояние от $F$ до стороны $CE$ — это отрезок $FC$ (так как $\angle C = 90^{\circ}$), а расстояние до стороны $DE$ — это $FH$. Значит, $FH = FC = 13$ см. **Ответ: 13 см**.