Контрольная работа по геометрии 8 класса по теме: «Площадь. Начала тригонометрии». Вариант 1.

1. В $\triangle ABC$ ($"∠C = 90^\circ"$): $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$. а) $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}$; б) $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$; в) $\text{tg } B = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{12}$; г) $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$. 2. Дано $\sin \alpha = 0,6$. Используем $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: а) $\cos \alpha = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{0,64} = 0,8$; б) $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,6}{0,8} = 0,75$. 3. В прямоугольнике $ABCD$: $CD = \sqrt{BD^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$. $S = AD \cdot CD = 4 \cdot 3 = 12$. 4. Площадь квадрата через диагональ: $S = \frac{1}{2} d^2 = \frac{1}{2} \cdot 6^2 = 18$. 5. Площадь параллелограмма: $S = AB \cdot AD \cdot \sin A = 7 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 70 \cdot 0,5 = 35$. 6. а) $S_{\text{ромба}} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$. б) Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: сторона $a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. 7. Площадь равностороннего треугольника: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$. 8. Трапеция $ABCD$ ($∠A = ∠B = 90^\circ$): она прямоугольная. Проведем высоту $CH$. $ABCH$ — прямоугольник, значит $CH = AB = 6$, $BC = AH = 6$. В $\triangle CHD$ ($∠H = 90^\circ$, $∠D = 45^\circ$): $\triangle CHD$ равнобедренный, $HD = CH = 6$. Основание $AD = AH + HD = 6 + 6 = 12$. а) $CD = \frac{CH}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sqrt{2}/2} = 6\sqrt{2}$; б) $AD = 12$; в) $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB = \frac{6 + 12}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$.