1. Два человека отправляются одновременно из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,2 км от дома. Первый идёт со скоростью 2,5 км/ч, а второй — со скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй разворачивается и с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.

1. 1) Вычислим время, через которое второй человек дойдет до опушки: $4,2 : 4,5 = \frac{42}{45} = \frac{14}{15}$ часа. 2) За это время первый человек пройдет: $2,5 \cdot \frac{14}{15} = \frac{5}{2} \cdot \frac{14}{15} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$ км. 3) Расстояние между ними в момент поворота второго: $4,2 - 2\frac{1}{3} = 4\frac{1}{5} - 2\frac{1}{3} = \frac{21}{5} - \frac{7}{3} = \frac{63 - 35}{15} = \frac{28}{15}$ км. 4) Скорость сближения после разворота: $2,5 + 4,5 = 7$ км/ч. 5) Время до встречи после разворота: $\frac{28}{15} : 7 = \frac{4}{15}$ часа. 6) Расстояние, которое пройдет первый до встречи: $2,5 \cdot (\frac{14}{15} + \frac{4}{15}) = 2,5 \cdot \frac{18}{15} = 2,5 \cdot 1,2 = 3$ км. **Ответ: 3**. 2. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Время в пути: $17:00 - 10:00 - 2 = 5$ часов. $\frac{36}{x + 3} + \frac{36}{x - 3} = 5$ $36(x - 3) + 36(x + 3) = 5(x^2 - 9)$ $36x - 108 + 36x + 108 = 5x^2 - 45$ $5x^2 - 72x - 45 = 0$ $D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 = 78^2$ $x = \frac{72 + 78}{10} = 15$ (корень $x = \frac{72 - 78}{10} < 0$ не подходит). **Ответ: 15**. 3. Пусть $x$ км/ч — скорость лодки. Скорость по течению $x + 1$, против — $x - 1$. $\frac{255}{x - 1} - \frac{255}{x + 1} = 2$ $255(x + 1) - 255(x - 1) = 2(x^2 - 1)$ $255x + 255 - 255x + 255 = 2x^2 - 2$ $510 = 2x^2 - 2 \Rightarrow 2x^2 = 512 \Rightarrow x^2 = 256 \Rightarrow x = 16$. **Ответ: 16**. 4. Средняя скорость — это всё расстояние, делённое на всё время. 1) Весь путь: $2 \cdot 90 + 1 \cdot 80 + 2 \cdot 60 = 180 + 80 + 120 = 380$ км. 2) Всё время: $2 + 1 + 2 = 5$ ч. 3) $V_{ср} = 380 : 5 = 76$ км/ч. **Ответ: 76**. 5. 45 минут = 0,75 часа. Пусть $x$ км/ч — скорость старого катера, тогда $(x + 15)$ км/ч — нового. $\frac{50}{x} - \frac{50}{x + 15} = 0,75$ $50(x + 15) - 50x = 0,75x(x + 15)$ $750 = 0,75x^2 + 11,25x$ (разделим на 0,75) $x^2 + 15x - 1000 = 0$ $D = 225 - 4 \cdot (-1000) = 4225 = 65^2$ $x = \frac{-15 + 65}{2} = 25$ км/ч. **Ответ: 25**.