В треугольнике ABC с углом величиной 60° при вершине B середины сторон BC и AC соединены отрезками с точкой F на третьей стороне. Отрезок BF равен половине стороны BC. Известны длины трёх отрезков с концом F: FA=22, FD=8, FE=13. Найдите периметр треугольника ABC.

В треугольнике $ABC$ дано: $\angle B = 60^{\circ}$, $D$ — середина $BC$, $E$ — середина $AC$, точка $F$ лежит на стороне $AB$. По условию $BF = \frac{1}{2} BC$. Так как $D$ — середина $BC$, то $BD = \frac{1}{2} BC$. Следовательно, $BF = BD$. Рассмотрим треугольник $BDF$. В нём $BD = BF$ (равнобедренный) и угол между ними $\angle B = 60^{\circ}$. Значит, $\triangle BDF$ — равносторонний, и $DF = BD = BF$. Из этого следует: $BC = 2 \cdot DF = 2 \cdot 8 = 16$. Пусть $AB = c$, $BC = a = 16$, $AC = b$. По теореме косинусов для $\triangle ABC$: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos 60^{\circ} = 16^2 + c^2 - 16c = 256 + c^2 - 16c$. Точка $E$ — середина $AC$, значит по формуле длины медианы (или через теорему косинусов для $\triangle AB E$): в $\triangle AB E$ имеем $AB = c$, $AE = b/2$, $\angle A$ — общий. Но проще использовать теорему косинусов для $\triangle BFE$, где $BF=8, FE=13, BE$ — медиана. Медиана $BE$ в $\triangle ABC$: $BE^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} = \frac{2 \cdot 16^2 + 2c^2 - (256 + c^2 - 16c)}{4} = \frac{512 + 2c^2 - 256 - c^2 + 16c}{4} = \frac{c^2 + 16c + 256}{4}$. В $\triangle ABF$ по теореме косинусов для стороны $AF=22$: $22^2 = c^2 + 8^2 - 2 \cdot c \cdot 8 \cos 60^{\circ} \Rightarrow 484 = c^2 + 64 - 8c \Rightarrow c^2 - 8c - 420 = 0$. Решим квадратное уравнение: $D = (-8)^2 - 4 \cdot (-420) = 64 + 1680 = 1744$. $\sqrt{1744} \approx 41.76$. Проверим условие: точка $F$ на стороне $AB$, значит $BF < AB$, т.е. $8 < c$. Уравнение $c^2 - 8c - 420 = 0$ дает $c = \frac{8 + \sqrt{1744}}{2} \approx 24.88$. Вычислим $b$: $b^2 = 256 + c^2 - 16c$. Подставим $c^2 = 8c + 420$: $b^2 = 256 + 8c + 420 - 16c = 676 - 8c$. Однако, в условии $F$ на $AB$, $FA=22, BF=8$, значит $AB = AF + FB = 22 + 8 = 30$. Проверим это. Если $c = 30$, то $AF^2 = c^2 + BF^2 - 2 \cdot c \cdot BF \cos B \Rightarrow 22^2 = 30^2 + 8^2 - 2 \cdot 30 \cdot 8 \cdot 0.5 = 900 + 64 - 240 = 724$. Но $22^2 = 484$. Значит, точка $F$ не может лежать на прямой $AB$ так, чтобы $\angle B$ был в треугольнике $AB F$. Заметим, что $D, E, F$ — точки. $D$ середина $BC$, $E$ середина $AC$. $BF = BC/2 = BD$. В $\triangle BDF$ $\angle B=60^\circ, BD=BF \Rightarrow DF=BD=8$, значит $BC=16, BF=8, BD=8$. В $\triangle ABF$: $AF=22, BF=8, \angle B=60^\circ$. По теореме косинусов: $AF^2 = AB^2 + BF^2 - 2 AB \cdot BF \cos 60^{\circ} \Rightarrow 22^2 = AB^2 + 8^2 - 2 \cdot AB \cdot 8 \cdot 0.5 \Rightarrow 484 = AB^2 + 64 - 8 AB \Rightarrow AB^2 - 8 AB - 420 = 0$. Корни: $AB = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 1680}}{2} = \frac{8 \pm 41.76}{2}$. Положительный корень $AB \approx 24.88$. Используем $FE=13$. $E$ — середина $AC$. Координаты: $B(0,0), C(16,0), A(c \cos 60^\circ, c \sin 60^\circ) = (c/2, c\sqrt{3}/2)$. $E = (\frac{16 + c/2}{2}, \frac{c\sqrt{3}/4})$. $F$ на $AB$: $F$ имеет координаты $(8 \cos 60^\circ, 8 \sin 60^\circ) = (4, 4\sqrt{3})$. $FE^2 = (8 + c/4 - 4)^2 + (c\sqrt{3}/4 - 4\sqrt{3})^2 = (4 + c/4)^2 + 3(c/4 - 4)^2 = 16 + 2c/4 + c^2/16 + 3(c^2/16 - 2c/4 + 16) = 16 + c/2 + c^2/16 + 3c^2/16 - 3c/2 + 48 = c^2/4 - c + 64$. По условию $FE=13 \Rightarrow 169 = c^2/4 - c + 64 \Rightarrow c^2/4 - c - 105 = 0 \Rightarrow c^2 - 4c - 420 = 0$. Корни: $c = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 1680}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{1696}}{2} = \frac{4 \pm 41.18}{2} \approx 22.59$. Заметим расхождение в данных $FA=22$ и $FE=13$. Проверим $FA$: $A(c/2, c\sqrt{3}/2), F(4, 4\sqrt{3})$. $FA^2 = (c/2 - 4)^2 + (c\sqrt{3}/2 - 4\sqrt{3})^2 = (c/2 - 4)^2 + 3(c/2 - 4)^2 = 4(c/2 - 4)^2 = (c - 8)^2$. $FA = |c - 8|$. По условию $FA=22$, значит $c - 8 = 22 \Rightarrow c = 30$. Проверим $FE$ при $c=30$: $FE^2 = 30^2/4 - 30 + 64 = 225 - 30 + 64 = 259$. $\sqrt{259} \approx 16.1 \neq 13$. **Допущение:** В задаче возможна опечатка в числах. Если приоритет за $FA=22$ (так как оно дает целое $c=30$): $AB = 30, BC = 16$. $AC^2 = 30^2 + 16^2 - 2 \cdot 30 \cdot 16 \cdot 0.5 = 900 + 256 - 480 = 676 \Rightarrow AC = 26$. $P_{ABC} = 30 + 16 + 26 = 72$. **Ответ: 72**