Question

№2. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Периметры треугольников BOC и AOD относятся как 2 : 3, AC = 20. Найдите длины отрезков AO и OC.

Accepted Answer

№2.
1. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущих-диагоналях: $\angle OBC = \angle ODA$, $\angle OCB = \angle OAD$).
2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия $k$. Значит, $k = \frac{OC}{AO} = \frac{2}{3}$.
3. Пусть $OC = 2x$, тогда $AO = 3x$. По условию $AC = AO + OC = 20$.
$3x + 2x = 20$
$5x = 20$
$x = 4$
4. Вычисляем длины: $AO = 3 \cdot 4 = 12$, $OC = 2 \cdot 4 = 8$.
Ответ: AO = 12, OC = 8.

№3.
1. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACE$. У них общий угол $A$.
2. Из отношения $AB : AC = 3 : 4$ следует, что $\frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$.
3. Проверим отношение других сторон: $\frac{AD}{AE} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
4. Так как две стороны треугольников пропорциональны ($\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}$) и угол между ними общий, то $	riangle ABD \sim 	riangle ACE$ по второму признаку подобия.
5. Из подобия следует, что отношение третьих сторон равно коэффициенту подобия:
$\frac{BD}{CE} = \frac{3}{4}$
$\frac{BD}{14} = \frac{3}{4}$
$BD = \frac{14 \cdot 3}{4} = \frac{42}{4} = 10,5$
Ответ: BD = 10,5.

№2. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Периметры треугольников BOC и AOD относятся как 2 : 3, AC = 20. Найдите длины отрезков AO и OC.

Ответ ассистента

Другие решения