Задачи для подготовки к контрольной работе. 1. Найдите длину окружности и площадь круга, если AB — диаметр окружности, а хорды AC и BC равны 12 см и 9 см.

**1.** Так как $AB$ — диаметр, то угол $C$, опирающийся на него, равен $90^{\circ}$. Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный. По теореме Пифагора найдём диаметр $AB$: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см. Радиус $R = \frac{AB}{2} = 7,5$ см. Длина окружности $L = 2\pi R = 15\pi$ см. Площадь круга $S = \pi R^2 = 7,5^2 \pi = 56,25\pi$ см$^2$. **Ответ:** $15\pi$ см; $56,25\pi$ см$^2$. **2.** Угол $\angle BOD = \angle AOC$ (как вертикальные). $\angle AOC = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$ (смежные). Радиус $R = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Длина дуги $l = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}}$. Дуга $BD$ (соответствует $\angle BOD$): $l_1 = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 150}{180} = \frac{10\pi}{3}$ см. Дуга $AD$ (соответствует $\angle AOD$): $l_2 = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 30}{180} = \frac{2\pi}{3}$ см. **Ответ:** $\frac{10\pi}{3}$ см и $\frac{2\pi}{3}$ см. **3.** Сторона правильного треугольника $a = R\sqrt{3}$, отсюда радиус $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$ см. Центральный угол правильного треугольника $\alpha = \frac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ}$. Площадь сектора $S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}} = \frac{\pi \cdot (\frac{100}{3}) \cdot 120}{360} = \frac{100\pi}{3 \cdot 3} = \frac{100\pi}{9}$ см$^2$. **Ответ:** $\frac{100\pi}{9}$ см$^2$. **4. Правильный шестиугольник со стороной 6 см:** 1. Угол шестиугольника: $\alpha = \frac{180^{\circ}(6-2)}{6} = 120^{\circ}$. **Ответ: 3)**. 2. Центральный угол: $\beta = \frac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$. **Ответ: 2)**. 3. В правильном шестиугольнике сторона $a = R = 6$ см. **Ответ: 1)**. 4. Диагональ $AC$ в $\triangle ABC$ ($AB=BC=6, \angle B=120^{\circ}$): по теореме косинусов $AC = \sqrt{6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos 120^{\circ}} = \sqrt{36 + 36 + 36} = 6\sqrt{3}$ см. **Ответ: 4)**.