В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD найдите угол между боковой гранью и основанием, если все рёбра равны

Пусть длина каждого ребра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна $a$. 1. Основание пирамиды — квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей), а $M$ — середина ребра $BC$. Тогда $OM = \frac{a}{2}$ (как средняя линия треугольника $ABC$ или половина стороны квадрата). 2. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания. $SM$ — апофема боковой грани $SBC$. Угол между боковой гранью и основанием — это линейный угол двугранного угла при ребре $BC$, то есть $\angle SMO$ в прямоугольном треугольнике $SOM$. 3. В равностороннем треугольнике $SBC$ (так как все рёбра равны $a$) высота $SM$ вычисляется по формуле: $SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. 4. Из прямоугольного треугольника $SOM$ находим косинус искомого угла $\alpha$: $\cos \alpha = \frac{OM}{SM} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. 5. Угол $\alpha = \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \approx 54,7^{\circ}$. **Ответ: $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$**.