Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть пирамида — $SABCD$, где основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a$. Пусть боковое ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Тогда $SA = H$ — высота пирамиды. 1. Грани $SAB$ и $SAD$ перпендикулярны основанию. Грань, не проходящая через высоту и наклоненная к основанию — это $SBC$ (или $SDC$). Линейный угол двугранного угла между $SBC$ и $ABC$ — это $\angle SBA$, так как $BC \perp AB$ и $BC \perp SB$ (по теореме о трех перпендикулярах). По условию $\angle SBA = 45^\circ$. 2. В прямоугольном $\triangle SAB$: так как $\angle SBA = 45^\circ$, то $\triangle SAB$ — равнобедренный, значит $SA = AB = H = a$. 3. Боковые ребра: $SA = H$, $SB = SD = \sqrt{H^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Самое длинное ребро — $SC$, так как это гипотенуза самого удаленного треугольника: $SC = \sqrt{AC^2 + SA^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = a\sqrt{3}$. 4. По условию $SC = 12$ см. Тогда $a\sqrt{3} = 12 \Rightarrow a = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ см. а) Высота пирамиды $H = a = 4\sqrt{3}$ см. б) Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ состоит из площадей четырех треугольников: $S_{SAB} = S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} a^2$ $S_{SBC} = S_{SDC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{2} = \frac{1}{2} a^2\sqrt{2}$ $S_{бок} = 2 \cdot \frac{1}{2} a^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} a^2\sqrt{2} = a^2(1 + \sqrt{2})$ Подставим $a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$: $S_{бок} = 48(1 + \sqrt{2})$ см$^2$. **Ответ:** а) $4\sqrt{3}$ см; б) $48(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.