Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38 градусов. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^{\circ}$. $180^{\circ} - 38^{\circ} - 38^{\circ} = 104^{\circ}$. **Ответ: $104^{\circ}$**. 2. Внешний угол треугольника и внутренний угол при той же вершине являются смежными, их сумма равна $180^{\circ}$. $180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$. **Ответ: $65^{\circ}$**. 3. На рисунке прямые $MN$ и $AC$ пересечены секущими. Углы $\angle MKA = 73^{\circ}$ и $\angle KAD = 107^{\circ}$ — односторонние. Их сумма $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$, значит $MN \parallel AC$. Угол $F$ и угол $\angle FCD = 44^{\circ}$ — накрест лежащие при параллельных прямых $MN$, $AC$ и секущей $KC$. Накрест лежащие углы равны: $\angle F = 44^{\circ}$. **Ответ: $44^{\circ}$**. 4. Пусть одна сторона $x$ см, тогда другая $x + 9$ см. В равнобедренном тупоугольном треугольнике основание всегда больше боковой стороны, а тупой угол может быть только при вершине. Допущение: боковая сторона равна $x$, тогда основание $x + 9$. $x + x + (x + 9) = 45 \Rightarrow 3x = 36 \Rightarrow x = 12$. Стороны: $12$ см, $12$ см, $21$ см. (Проверка: $12 + 12 > 21$ — треугольник существует). Если бы основание было $x$, а боковые стороны $x+9$, то $x + 2(x+9) = 45 \Rightarrow 3x = 27 \Rightarrow x = 9$. Стороны $18, 18, 9$. В тупоугольном треугольнике большая сторона лежит против тупого угла, здесь это боковые стороны, что невозможно для углов при основании. **Ответ: 12 см, 12 см, 21 см**. 5. $AD$ — биссектриса, значит $\angle DAF = \angle DAC = 72^{\circ} / 2 = 36^{\circ}$. Так как $DF \parallel AB$, то $\angle ADF = \angle DAB$ (накрест лежащие) $= 36^{\circ}$. В $\triangle ADF$: $\angle AFD = 180^{\circ} - (\angle DAF + \angle ADF) = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 36^{\circ}) = 108^{\circ}$. **Ответ: $36^{\circ}, 36^{\circ}, 108^{\circ}$**.