Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A и катетами AC=3 и AB=4. Найдите угол между плоскостями ABC и A1BC, если AA1=9.

Question

Вопрос:

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A и катетами AC=3 и AB=4. Найдите угол между плоскостями ABC и A1BC, если AA1=9.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты: $AC = 3$, $AB = 4$. Найдем второй катет $BC$ по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$. 2. Так как призма прямая, то ребро $AA_1 \perp (ABC)$. Угол между плоскостями $(ABC)$ и $(A_1BC)$ — это линейный угол двугранного угла при ребре $BC$. Так как $AC \perp BC$ (по условию) и $A_1C \perp BC$ (по теореме о трех перпендикулярах, так как $AC$ — проекция $A_1C$ на плоскость основания), то искомый угол — это $\angle A_1CA$. 3. В прямоугольном треугольнике $A_1AC$ ($\angle A = 90^\circ$): $tg(\angle A_1CA) = \frac{AA_1}{AC} = \frac{9}{3} = 3$. 4. Угол $\alpha = arctg(3)$. **Ответ: arctg(3)**

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A и катетами AC=3 и AB=4. Найдите угол между плоскостями ABC и A1BC, если AA1=9.

Ответ ассистента

Другие решения