Найти интервалы возрастания и убывания функции y = 6x - 2x³.

1. Чтобы найти интервалы монотонности функции $y = 6x - 2x^3$, найдем её производную: $y' = 6 - 6x^2$ Приравняем производную к нулю: $6(1 - x^2) = 0 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$ Определим знаки производной на интервалах: - На $(-\infty; -1)$: $y' < 0$ — функция убывает. - На $(-1; 1)$: $y' > 0$ — функция возрастает. - На $(1; +\infty)$: $y' < 0$ — функция убывает. **Ответ:** возрастает на $[-1; 1]$, убывает на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$. 2. Находим производную функции $y = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$: $y' = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{3x^2}$ Точки экстремума — это точки, где $y' = 0$: $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$ ($x \neq 0$ по области определения). При переходе через $x = -3$ знак $y'$ меняется с $+$ на $-$, это точка максимума. При переходе через $x = 3$ знак $y'$ меняется с $-$ на $+$, это точка минимума. **Ответ:** $x_{max} = -3$, $x_{min} = 3$. 3. Построение графиков: 1) $y = 2x^4 - x^2 + 1$. Четная функция. Производная $y' = 8x^3 - 2x = 2x(4x^2 - 1)$. Критические точки: $0; \pm 0,5$. :::div .chart-container @chart-1::: 2) $y = x^3 - 3x$. Нечетная функция. Производная $y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$. Критические точки: $\pm 1$. :::div .chart-container @chart-2::: 4. Найдем значения функции $y = x + \frac{4}{x}$ на концах отрезка $[1; 5]$ и в критических точках: $y' = 1 - \frac{4}{x^2}$. $y' = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ (точка $x = -2$ не входит в отрезок). $y(1) = 1 + 4 = 5$ $y(2) = 2 + 2 = 4$ $y(5) = 5 + 0,8 = 5,8$ **Ответ:** наим. значение 4 (при $x=2$), наиб. значение 5,8 (при $x=5$). 5. Пусть стороны основания $a$ и $b$. Периметр $P = 2(a + b) = 8 \Rightarrow a + b = 4 \Rightarrow b = 4 - a$. Объем $V = a \cdot b \cdot h = a(4 - a) \cdot 3 = 12a - 3a^2$. Исследуем на максимум: $V' = 12 - 6a = 0 \Rightarrow a = 2$. Тогда $b = 4 - 2 = 2$. Это квадрат со стороной 2 м. **Ответ:** 2 м и 2 м.