144. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете BC отметили такую точку D, что ∠BDA = 120°. Найдите BC, если AD = 12 см.

144. 1) В $\triangle ABC$ ($\\angle C = 90^{\circ}$): $\\angle B = 90^{\circ} - \\angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 2) Рассмотрим $\\triangle ABD$: $\\angle BDA = 120^{\circ}$, $\\angle B = 30^{\circ}$. Тогда $\\angle DAB = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 30^{\circ}) = 30^{\circ}$. 3) Т.к. $\\angle DAB = \\angle B = 30^{\circ}$, то $\\triangle ABD$ — равнобедренный, $BD = AD = 12$ см. 4) В $\\triangle ADC$ ($\\angle C = 90^{\circ}$): $\\angle ADC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ (смежные). $\\angle DAC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Катет $CD$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $CD = \\frac{1}{2} AD = \\frac{1}{2} \\cdot 12 = 6$ см. 5) $BC = BD + CD = 12 + 6 = 18$ см. **Ответ: 18 см.** 145. 1) В $\\triangle ABC$: $\\cos B = \\frac{BC}{AB} = \\frac{5}{10} = 0,5 \\Rightarrow \\angle B = 60^{\circ}$. 2) В $\\triangle BCD$ ($\\angle CDB = 90^{\circ}$): $\\angle BCD = 90^{\circ} - \\angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. **Ответ: 30°.** 146. 1) В $\\triangle AMC$ ($\\angle M = 90^{\circ}$): $\\cos A = \\frac{AM}{AC} = \\frac{6}{12} = 0,5 \\Rightarrow \\angle A = 60^{\circ}$. 2) В $\\triangle ABC$ ($\\angle C = 90^{\circ}$): $AB = \\frac{AC}{\\cos A} = \\frac{12}{\\cos 60^{\circ}} = \\frac{12}{0,5} = 24$ см. **Ответ: 24 см.** 147. 1) В $\\triangle ABC$: $\\angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. Катет $AC = \\frac{1}{2} AB = \\frac{1}{2} \\cdot 20 = 10$ см. 2) В $\\triangle ACE$ ($\\angle AEC = 90^{\circ}$): $\\sin \\angle CAE = \\frac{CE}{AC} = \\frac{5}{10} = 0,5 \\Rightarrow \\angle CAE = 30^{\circ}$. **Ответ: 30°.** 148. 1) В $\\triangle DEF$ ($\\angle D = 90^{\circ}$): $\\angle E = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) $EP$ — биссектриса, значит $\\angle DEP = \\angle PEF = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) В $\\triangle DEP$: катет $PD$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $EP = 2 PD$. 4) По условию $EP + PD = 12$. Подставим: $2 PD + PD = 12 \\Rightarrow 3 PD = 12 \\Rightarrow PD = 4$ см. Тогда $EP = 8$ см. 5) В $\\triangle PEF$: $\\angle PEF = 30^{\circ}$ и $\\angle F = 30^{\circ}$. Т.к. углы при основании равны, $\\triangle PEF$ — равнобедренный, $FP = EP = 8$ см. **Ответ: 8 см.**