Решите задачи на нахождение сторон и углов в прямоугольных треугольниках по готовым чертежам: 1. Найти BC; 2. Найти AB; 3. Найти AE; 4. Найти ∠B, ∠C.

1. **Найти: BC** В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\\angle C = 90^\circ$): $\\angle B = 60^\circ$, значит $\\angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. По свойству катета, лежащего против угла в $30^\circ$: $BC = \\frac{1}{2} AB = \\frac{1}{2} \\cdot 10 = 5$. **Ответ: 5**. 2. **Найти: AB** В прямоугольном $\triangle ABC$ ($\\angle C = 90^\circ$): $AC = 8$, $\\angle B = 45^\circ$, значит $\\angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Треугольник равнобедренный, $BC = AC = 8$. По теореме Пифагора: $AB = \\sqrt{AC^2 + BC^2} = \\sqrt{8^2 + 8^2} = \\sqrt{64 + 64} = \\sqrt{128} = 8\\sqrt{2}$. **Ответ: $8\\sqrt{2}$**. 3. **Найти: AE** В $\triangle ABC$: $\\angle C = 90^\circ$, $\\angle B = 60^\circ$, значит $\\angle BAC = 30^\circ$. В $\triangle AEC$: $\\angle C = 90^\circ$, $\\angle CAE = 30^\circ$, $EC = 7$. Катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $EC = \\frac{1}{2} AE$, откуда $AE = 2 \\cdot EC = 2 \\cdot 7 = 14$. **Ответ: 14**. 4. **Найти: $\\angle B, \\angle C$** В прямоугольном $\triangle ACD$ ($\\angle C = 90^\circ$): $AD = 7$, $CD = 3,5$. Так как $CD = \\frac{1}{2} AD$, то $\\angle CAD = 30^\circ$. Тогда $\\angle ADC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. В $\triangle ABD$: $AB = AD = 7$, значит он равнобедренный. Углы при основании: $\\angle B = \\angle ADB = 60^\circ$. Сумма углов $\triangle ABD$ равна $180^\circ$, значит $\\angle BAD = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$. Тогда $\\triangle ABD$ — равносторонний. Находим $\\angle C$ в исходном треугольнике $ABC$ (если имеется в виду весь угол при вершине $C$, он прямой по рисунку). **Ответ: $\\angle B = 60^\circ, \\angle C = 90^\circ$**.