Решить неравенства f'(x) < 0, g'(x) > 0, h(x) < x0, если f(x) = x^5/5 - 5/3x^3 + 6x, g(x) = 4/(2-5x), h(x) = 6 - 1/2e^(2x-3), x0 = 1/e^3

1. Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^5}{5} - \frac{5}{3}x^3 + 6x$: $f'(x) = x^4 - 5x^2 + 6$. Решим неравенство $f'(x) < 0$: $x^4 - 5x^2 + 6 < 0$. Пусть $t = x^2, t \ge 0$: $t^2 - 5t + 6 < 0$. Корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$: $t_1 = 2, t_2 = 3$. Решение для $t$: $2 < t < 3$. Возвращаемся к $x$: $2 < x^2 < 3$. $x \in (-\sqrt{3}; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \sqrt{3})$. 2. Найдем производную функции $g(x) = \frac{4}{2-5x} = 4(2-5x)^{-1}$: $g'(x) = 4 \cdot (-1) \cdot (2-5x)^{-2} \cdot (-5) = \frac{20}{(2-5x)^2}$. Решим неравенство $g'(x) > 0$: $\frac{20}{(2-5x)^2} > 0$. Дробь всегда положительна при всех допустимых $x$, так как в числителе положительное число, а в знаменателе квадрат. Исключаем точку, где знаменатель равен нулю: $2 - 5x \ne 0 \Rightarrow x \ne 0,4$. $x \in (-\infty; 0,4) \cup (0,4; +\infty)$. 3. Решим неравенство $h(x) < x_0$, где $h(x) = 6 - \frac{1}{2}e^{2x-3}$ и $x_0 = \frac{1}{e^3}$: $6 - \frac{1}{2}e^{2x-3} < e^{-3}$. $-\frac{1}{2}e^{2x-3} < e^{-3} - 6$. $e^{2x-3} > 12 - 2e^{-3}$. $2x - 3 > \ln(12 - 2e^{-3})$. $2x > 3 + \ln(12 - 2e^{-3})$. $x > 1,5 + 0,5\ln(12 - 2e^{-3})$. **Ответ:** $f'(x) < 0$ при $x \in (-\sqrt{3}; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \sqrt{3})$; $g'(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 0,4) \cup (0,4; +\infty)$; $h(x) < x_0$ при $x > 1,5 + 0,5\ln(12 - 2e^{-3})$.