Найти общее решение: а) дифференциального уравнения и удовлетворяющее частное решение, удовлетворяющее начальному условию; b) дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка;

а) $y' - y \sin x = e^{-\cos x} \sin 2x$, $y(\frac{\pi}{2}) = 3$ Это линейное уравнение первого порядка. Решим через замену $y = uv$, тогда $y' = u'v + uv'$. $u'v + u(v' - v \sin x) = e^{-\cos x} \sin 2x$ 1. $v' - v \sin x = 0 \Rightarrow \frac{dv}{v} = \sin x dx \Rightarrow \ln|v| = -\cos x \Rightarrow v = e^{-\cos x}$ 2. $u' e^{-\cos x} = e^{-\cos x} \sin 2x \Rightarrow u' = 2 \sin x \cos x \Rightarrow u = \int 2 \sin x \cos x dx = \sin^2 x + C$ Общее решение: $y = (\sin^2 x + C) e^{-\cos x}$ Найдём $C$: $3 = (\sin^2 \frac{\pi}{2} + C) e^{-\cos \frac{\pi}{2}} \Rightarrow 3 = (1 + C) e^0 \Rightarrow 3 = 1 + C \Rightarrow C = 2$ Частное решение: $y = (\sin^2 x + 2) e^{-\cos x}$ b) $(y - 1)^2 y'' - (2y')^2 = 0$ Уравнение не содержит явного $x$. Замена: $y' = p(y)$, $y'' = p \frac{dp}{dy}$. $(y - 1)^2 p \frac{dp}{dy} - 4p^2 = 0$ 1. $p = 0 \Rightarrow y' = 0 \Rightarrow y = C$ (решение) 2. $(y - 1)^2 \frac{dp}{dy} = 4p \Rightarrow \frac{dp}{p} = \frac{4 dy}{(y - 1)^2} \Rightarrow \ln|p| = -\frac{4}{y - 1} + C_1 \Rightarrow p = e^{C_1} e^{-\frac{4}{y - 1}}$ Пусть $e^{C_1} = C_2$, тогда $\frac{dy}{dx} = C_2 e^{-\frac{4}{y - 1}} \Rightarrow e^{\frac{4}{y - 1}} dy = C_2 dx$ Интегрируем: $\int e^{\frac{4}{y - 1}} dy = C_2 x + C_3$ Ответ: $\int e^{\frac{4}{y - 1}} dy = C_2 x + C_3; y = C$.