Задача 5. Найти общее решение: а) дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию; b) дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка; c) линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

На изображении представлены два варианта задания 5. Поскольку вы не уточнили номер, разберем задачи из пункта **5.1**. **а) $y' \sin x - y \cos x = 1$, $y(\frac{\pi}{2}) = 0$** 1. Это линейное уравнение первого порядка. Разделим на $\sin x$: $y' - y \text{ctg} x = \frac{1}{\sin x}$. 2. Решим однородное: $y' - y \text{ctg} x = 0 \Rightarrow \frac{dy}{y} = \text{ctg} x dx \Rightarrow \ln|y| = \ln|\sin x| + \ln|C| \Rightarrow y = C \sin x$. 3. Применим метод вариации постоянной: $y = C(x) \sin x$. Подставим в исходное: $C'(x) \sin^2 x + C(x) \cos x \sin x - C(x) \cos x \sin x = 1 \Rightarrow C'(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$. 4. Интегрируем: $C(x) = -\text{ctg} x + C_1$. Общее решение: $y = (C_1 - \text{ctg} x) \sin x = C_1 \sin x - \cos x$. 5. Частное решение при $y(\frac{\pi}{2}) = 0$: $0 = C_1 \sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\frac{\pi}{2}) \Rightarrow 0 = C_1 \cdot 1 - 0 \Rightarrow C_1 = 0$. **Ответ: $y = -\cos x$.** **b) $x^2 y'' + x y' = 1$** 1. Уравнение не содержит $y$. Замена: $y' = p(x)$, $y'' = p'$. 2. $x^2 p' + xp = 1$. Разделим на $x^2$ ($x \neq 0$): $p' + \frac{1}{x} p = \frac{1}{x^2}$. 3. Решим однородное: $\frac{dp}{p} = -\frac{dx}{x} \Rightarrow p = \frac{C_1}{x}$. 4. Вариация: $p = \frac{C_1(x)}{x} \Rightarrow \frac{C_1'}{x} - \frac{C_1}{x^2} + \frac{C_1}{x^2} = \frac{1}{x^2} \Rightarrow C_1' = \frac{1}{x} \Rightarrow C_1(x) = \ln|x| + C_1$. 5. $y' = p = \frac{\ln|x| + C_1}{x}$. 6. Интегрируем: $y = \int (\frac{\ln x}{x} + \frac{C_1}{x}) dx = \frac{1}{2}\ln^2|x| + C_1 \ln|x| + C_2$. **Ответ: $y = \frac{1}{2}\ln^2|x| + C_1 \ln|x| + C_2$.** **c) $y'' - 5y' + 6y = 2 \cos x + x$** 1. Характеристическое уравнение: $k^2 - 5k + 6 = 0 \Rightarrow (k-2)(k-3) = 0 \Rightarrow k_1 = 2, k_2 = 3$. $y_{одн} = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$. 2. Частное решение ищем в виде $y_{ч} = y_{ч1} + y_{ч2}$. Для $2 \cos x$: $y_{ч1} = A \cos x + B \sin x$. Подставим: $(-A-5B+6A) \cos x + (-B+5A+6B) \sin x = 2 \cos x$. $\begin{cases} 5A - 5B = 2 \\ 5A + 5B = 0 \end{cases} \Rightarrow A = 0.2, B = -0.2 \Rightarrow y_{ч1} = 0.2(\cos x - \sin x)$. Для $x$: $y_{ч2} = Dx + E$. Подставим: $0 - 5D + 6(Dx + E) = x$. $6D = 1 \Rightarrow D = 1/6$; $6E - 5D = 0 \Rightarrow 6E = 5/6 \Rightarrow E = 5/36$. **Ответ: $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + 0.2(\cos x - \sin x) + \frac{1}{6}x + \frac{5}{36}$.**